Niveau Maths sup

Application de R vers C

Posté par
fabuloso 05-10-09 à 19:50

Bonjour!

Je voudrais montrer que si $\alpha$ est complexe, alors la dérivée de $e^{\alpha.t}=\alpha.e^{\alpha.t}$ , j'ai posé $\alpha=a+ib$ j'ai alors $e^{\alpha.t}= e^{at}.e^{ibt}=e^{at}(cos(bt)+isin(bt))=e^{at}cos(bt)+ie^{at}sin(bt)$ donc $(e^{\alpha.t})'=-abe^{at}sinbt+iabe^{at}cos(bt)$ et je ne sais plus comment continuer...

Vou pouvez m'aider?

Merci d'avance!

Posté par re : Application de R vers C 05-10-09 à 20:00

Je pose a = u + iv

$3$\textrm f(t) = e^{at} = e^{ut+ivt} = e^{ut}[cos(vt)+isin(vt)]$

Alors,

$3$\textrm f^'(t) = u.e^{ut}[cos(vt)+isin(vt)] + e^{ut}[-vsin(vt)+ivcos(vt)]\\ \\ \\ = e^{ut}[ucos(vt)-vsin(vt) + i(usin(vt)+vcos(vt))]$

Maintenant, développe :

$3$\textrm e^{ut}(u+iv)[cos(vt)+isin(vt)]$

Tu retrouves bien le calcul antérieur.

Posté par re : Application de R vers C 05-10-09 à 20:03

a oui c'est simple... merci !

Posté par re : Application de R vers C 05-10-09 à 20:06

Bonne soirée.

Posté par re : Application de R vers C 05-10-09 à 20:07

Lorsque tu dérive $e^{\alpha t}$ , tu as une somme de deux produits, il faut faire (uv)'=u'v+uv'
$\\ e^{\alpha.t}=e^{at}(\cos(bt)+\i \sin(bt)) \\ (e^{\alpha.t})'=e^{at}(a(\cos(bt)+i sin(bt))+(-b\sin(bt)+i b \cos(bt))) \\ (e^{\alpha.t})'=e^{at}(a+ib)(\cos(bt)+\i \sin(bt)) \\ (e^{\alpha.t})'=(a+\i b)e^{at\i b t}$

Posté par re : Application de R vers C 05-10-09 à 20:08

ah trop tard...

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