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Application différentiable

Posté par
lemmouchia 27-12-11 à 22:50

Bonsoir, voici un exercice qui me pose problème :

Soit E un espace de Banach, B la boule ouvert de L(E,E), de centre id et de rayon 1/3, et f l'application de B dans L(E,E) telle que f(u)=u^3=uouou.

1) montrer que f est différentiable et calculer f'(u)(h) pour u B et h L(E,E). A quel espace appartien f'(u) ? Montrer que f est de classe C^1

Bon pour le calcul de la différentielle j'ai calculé f(u+h). Au départ j'avais trouvé 3u^2h, mais je me suis rendu compte que u et h étant des applications linéaires ne commutent pas forcément, et donc j'ai finalement obtenu :

f(u+h)=f(u)+f'(u)(h)+ o \\ (\| h \|)

Avec
f'(u)(h)=u^2oh+uohou+hou^2 \\ o(\| h \|)= uoh^2+houoh+h^2ou+h^3

Premièrement j'ai montré que la différentielle est linéaire en h (pas de problème), ensuite ça commence à se corser :

On sait que pour une application linéaire f : E \rightarrow F   si E est de dimension finie alors la continuité est automatique. Or ici l'application va de
f : B \rightarrow L(E,E)  
Et je ne sais pas si la boule B est de dimension finie ou pas.
Donc j'ai décidé de quand même essayer de montrer la continuité en h (merci de m'indiquer si c'est nécessaire ou pas) :

\|f'(u)(h)\| = \|u^2oh+uohou+hou^2\| \le \|u^2oh \|+ \|uohou \| +\| hou^2\| \le \| u\|\|u \|\|h \|+ \|u\|\|h \|\|u \|+ \|h \|\|u \|\|u \| =\|u \|\|h \|(3 \|u\|)

mais j'ai constaté que \|u \| \le 1

donc \|f'(u)(h)\| \le 3\|u \|\|h \|

A quel espace appartient f'(u) j'ai mis à : L(B,L(E,E)) ..

Pour montrer que f est C^1, il faut montrer qu'elle est continu en u.

Or avec l'inégalité précédente on a : \|f'(u)(h)\| \le 3\|u \|\|h\| \Longrightarrow \|f'(u)\| \le 3\|u \| mais je suis pas sûr du tout de mon raisonnement.

Merci par avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Application différentiable 28-12-11 à 15:33

Bonjour

C'est très bien! Il faut démontrer la continuité si on ne connait pas la dimension.

Il y a une autre méthode qui passe par des fonction composées... on ne t'aurait pas donné en cours la différentielle d'une application multilinéaire? Ici, c'est la composée de la linéaire u\mapsto (u,u,u) et de la trilinéaire (v,w,t)\mapsto (v\circ w\circ t)

Posté par
lemmouchiare : Application différentiable 28-12-11 à 18:01

Bonjour, merci pour la réponse, donc ça confirme ce que je pensais ^^. Par contre pour mon \|u\| \le 1 je ne suis pas sûr du tout. Je suis sur qu'il faut trouver \| f'(u)(h)\| \le 3 \|u\|\|h\| \ pour la continuité mais je ne pense pas qu'on y arrive de cette façon ...

Pour f'(u), j'ai hésité à mettre que ça appartienne à ;

L(B,L(E,E)) ou L(L(E,E),L(E,E)) car pour une fonction de E F

si f est définie d'un ouvert U de E dans F alors la fonction f'(a) appartient quand même à L(E,F), donc vu que B est un ouvert de L(E,E) j'ai un doute.

Et pour la dernière implication que j'ai écrite es-tu sur qu'elle fonctionne, car j'ai vu dans un livre et pour montrer la continuité en u, il montre que :

\| (f'(u)(h)-f'(u_0)(h))\| \le \|u-u_0\|\|h\|

et ça implique que :

\| f'(u)-f'(u_0)\| \le \|u-u_0\|

mais cette implication est vraie que lorsque f'(u)(h) est continue en h n'est-ce pas ?

Je sais que c'est censé être pareil de montrer que

\| f'(u)-f'(u_0)\| \le \|u-u_0\| et \| f'(u)\| \le 3 \|u\| \

mais dans ce cas pourquoi dans le livre il recommence tout depuis le début pour montrer la continuité en u alors qu'il peut la montrer en une inégalité de plus ?

Voila beaucoup de questions, mais j'ai vraiment envie de comprendre ce chapitre dans le moindre détail, parce que aller à un examen en comprenant les choses vaguement et en ayant pleins de doutes ça peut jouer des tours.

Merci

Posté par
lolo271re : Application différentiable 28-12-11 à 19:24

Bonjour,

f ' (u)  est dans  L ( L(E,E), L(E,E)  pour une application linéaire il faut des espaces vectoriels.

Posté par
lolo271re : Application différentiable 28-12-11 à 19:29

Pour ta dexuième question  f ' (u) -  f'(u0)  est linéaire , donc en fait tu as à gauche la norme du vecteur  ( f '(u) - f' (u0)) (h) qui est inférieur à  A llhll  pour le réel  A  = ll u-u0ll

maintenant comme c'est pour tout  h, tu en déduis que   la norme de l'application  f'(u) - f'(u0) est inférieure à  A.

Parfois les normes des applications linéaires sont notées  lll   lll  pour éviter les confusions que tu sembles faire ici.

Posté par
perroquetre : Application différentiable 28-12-11 à 19:35

Bonjour, Lemmouchia

Je rectifie d'abord une faute.
f'(u) est un élément de L(L(E,E),L(E,E))   (tu l'écris d'ailleurs à un endroit...).
(L(E,E) désignant l'ensemble des applications linéaires continues de E dans E)


f' est une application de B dans L(L(E,E),L((E,E)).

En ce qui concerne la continuité:
il me semble que tu confonds la continuité de l'application linéaire f'(u) et la continuité de l'application f'.
Tu as démontré proprement la continuité de l'application linéaire f'(u), comme Camélia te l'a précisé.
Il reste à démontrer la continuité de l'application f'.

Pour cela, il faut préciser soigneusement les normes des espaces de départ et d'arrivée.
Pour l'espace de départ, c'est "simple": on prend obligatoirement la norme définie sur L(E,E) (B est une partie de L(E,E)).
Pour l'espace d'arrivée, c'est la norme d'application linéaire continue sur L(L(E,E),L(E,E)).
J'espère que ces indications te permettront de t'y retrouver.

Posté par
lemmouchiare : Application différentiable 28-12-11 à 20:41

D'accord, donc en fait si j'écris l'inégalité suivante :

\|f'(u)(h)\|_{L(L(E,E),L(E,E))} \le 3\|u\|_{L(E,E)} \|h\|_{L(E,E)}, j'ai donc aussi montré que

\|f'(u)\|_{L(L(E,E),L(E,E))} \le 3\|u\|_{L(E,E)}

et donc la continuité en u ?

Posté par
perroquetre : Application différentiable 28-12-11 à 20:53

Non, ce que tu as écrit ne prouve pas la continuité de f'.

Pour montrer la continuité de f' en u, il s'agit par exemple de démontrer que:
\forall \epsilon >0 \quad \exists \eta>0 \quad \forall v \in B \quad \|u-v\| \leq \eta \Longrightarrow \|f'(u)-f'(v)\| \leq \epsilon

Or, on sait que:  \|f'(u)-f'(v)\| =\displaystyle \underset{h \in L(E,E)}{\sup}\frac{\|f'(u)(h)-f'(v)(h)\|}{\|h\|}

Posté par
lemmouchiare : Application différentiable 28-12-11 à 21:24

oui, mais dans le cours j'ai les équivalences suivante.
Soit f : E-> F une application linéaire définie de l'ev normé E vers l'ev normé F.

i) f est uniformément continue sur E
ii) f est continue en 0
iii) f est continue
iv) il existe k0 telle que xE \|f(x)\| \le k\|x\|

Posté par
perroquetre : Application différentiable 28-12-11 à 21:41

f'(u) est une application linéaire.
Mais f' n'est pas une application linéaire.

Posté par
lolo271re : Application différentiable 28-12-11 à 22:45

Je réponds au message de 20h41, oui tu as montré la continuité de l'application linéaire  f ' ( u)   (ce n'est pas la continuité par rapport à  u) .

Posté par
lolo271re : Application différentiable 28-12-11 à 22:47

En fait si tu montrais directement que l'application de  L(E) x L(E)  qui à  (u, v) associe   u°v  est  dérivable , toutes les autres propriétés en découlerait grâce au théorèmes de compsositions.

Posté par
lemmouchiare : Application différentiable 29-12-11 à 02:28

ah, oui maintenant que tu me dis que f' n'est pas linéaire je comprend pourquoi ça ne marche pas ^^. Et effectivement avec la remarque de Camelia et de lolo271 ça marche beaucoup plus vite mais je voulais m'entrainer aux deux méthodes .

Merci à vous

a++


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