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Application et triangle
Bonsoir ! 
Voici l'exercice qui me pose problème :
Soit un triangle et f l'application qui à tout point M intérieur du triangle (bords compris) associe la somme des distances de M aux trois côtés du triangle. Que dire de l'ensemble 
des points M où f atteint son maximum ?
J'arrive, en considérant trois vecteurs unitaires perpendiculaires à chacun des trois côtés ,à montrer que :
f(M) = .
+f(O) où O un point quelconque et
est la sommes des trois vecteurs unitaires. (Je pense que c'est correct car l'indication me conseillait d'arriver à ce résultat intermédiare).
Mais je n'arrive pas à conclure...
Merci de votre aide !
Salut.
Tu as fait l'essentiel je pense.
Supposons pour l'instant que le triangle ne soit pas équilatéral
(donc le vecteur K est non nul)
Supposons qu'un point O soit un maximum pour la fonction f.
Pour tout point M du triangle (bord compris), on doit avoir
f(M)-f(O) = OM.K TOUJOURS positif
(comment on fait pour écrire les vecteurs sur ce forum?)
Or, les points M du plan tels que OM.K soit positif sont exactement les points d'un demi plan qui est
défini par la droite passant par O et orthogonale au vecteur K. Ainsi tous les points du triangle doivent se situer du même côté de cette droite. On en déduit que le point O est un point du bord.
Dans le cas le plus fréquent (si le vecteur K n'est pas perpendicualaire à un des cotés du triangle), le point O doit donc être un des sommets du triangle (celui ou ceux dont la (les) hauteur(s) issue(s) est de langueur minimale).
Il te reste à voir les cas particuliers: quand le triangle est équilatéral, et lorsque le vecteur K est dirigé perpendiculairement à un des cotés du triangle (si c'est possible)
pardon c'est toujours NEGATIF qu'il faut prendre je pense. Mais cela ne change rien au reste de l'argumentation
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