Bonjour,

il suffit d'observer que pour tout n, z(n+1) = f(zn) avec f l'application linéaire de matrice les coefficients qui apparaissent dans tes trois membres de droite.

cela suffit je n'ai pas besoin de montrer que f endomorphisme de E dans E?

Ca dépend où tu en es du cours en fait...et as-tu déjà vu les matrices, à propos?

oui oui je montre que rg(f)=dimE donc dim (IMf)=dim E donc endomorphisme?

Tu ne sembles pas avoir très bien compris la définition d'endomorphisme!

Cette définition n'a rien à voir avec la notion de dimension.f est un endomorphisme si c'est une application linéaire de E dans E.

Tu confonds avec le théorème qui te dit que si une application linéaire f (donc si on sait déjà qu'elle l'est!) de E dans F
vérifie rg(f) = dim(F), alors f est surjective!

Tu ne m'as pas répondu: as-tu vu les matrices et leur lien avec les applications linéaires?

celà dépend quel est ce lien mais on a vu les matrices

As-tu vu que toute application linéaire peut se représenter par une matrice, et qu'inversement, toute matrice carrée d'ordre n représente un unique endomorphisme d'un espace de dimension n, une base de l'espace étant fixée?

non on a pas vu cette propriété, mais est-ce que cette règle marche si pour une application linéaire de f de matrice  carrée exemple appartenant à  M(3,3) et rg f inférieur à trois?

Merci encore pour ton aide

Euh...ta phrase n'a pas de sens, désolé, je ne comprends même pas ce que tu veux dire!

Si tu n'as pas vu cette propriété, as-tu au moins vu que si une base (e1,e2,...,en) de l'espace, et si une famille (y1,y2,...,yn) de E sont fixées, il existe un et un seul endomorphisme f de E vérifiant f(ei) = yi pour tout i?

oui, ca je l'ai vu cette propriété recoupe en fait celle que tu as utilisée précédement.

En parrallèle à ca pourrais-tu m'expliquer comment tu peut déterminer une base d'un plan vectoriel d'équation
y=3x-z suffit-il de déterminer deux vecteurs de l'ensemble non colinéaires?

Exactement.

Bon si tu as vu cette propriété, définis l'endomorphisme f par son image sur la base canonique (e1,e2,e3) en posant:

f(e1) = 10e1 -182 +36e3

f(e2) = -3e1 + 7e2 + 12e3

f(e3) = -3e1 +6e2 -11e3


Prouve alors que pour tout n, f(zn) = z(n+1).

C'est -18e2 à la première ligne.

merci encore pour ton aide.

Je t'en prie.