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application linéaire
bonjour,
j'ai f:E-->E,avec E un R-ev normé, tq f(x+y)=f(x)+f(y) et pour tout x avec ||x||<=1,on a ||f(x)||<=M.
1) Je dois montrer que f est Q-linéaire.
On a :f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0);donc f(0)=2f(0) d'où f(0)=0.D'autre part,f(x+x)=f(x)+f(x),d'où f(2x)=2f(x).Par récurrence,sur n ds N* on montre que f(nx)=nf(x).Pour montrer que f(p/q *x)=p/q *f(x) avec p et q ds N* et p 1er avec q,on a f(x)=f(x/n+....+x/n,n fois)=f(x/n))+...+f(x/n),nfois =n*f(x/n).Donc f(x)/n = f(x/n);en multipliant par p ds N on a d'après la précédente récurrence:p/n * f(x)=f(p/n *x) et on montre ainsi la Q-linéarité.Il manque l'étape que j'ai volontairement omise :f(L*x + K*y)=L*f(x) + K*f(y),Let K ds Q.
2) Soit x ds E,montrer que pour tt lambda ds Q tq ||x||<= lambda,on a ||f(x)||<=lambda*M.
je note lambda ,L.On a ||x||<=L donc ||x||/L<=1 et ||x/L||=||x||/L car L=|L| car L>=||x||>=0 par hypothèse.
Donc,par hypothèse sur f,||f(x/L)||<=M;d'après 1),||f(x/L)||=1/L* ||f(x)||<=M d'où ||f(x)||<=L*M.
Grâce au fait quef(0)=0 on a:f(x-x)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x) =0 et donc f(-x)=-f(x)
Que pensez-vous de mes réponses ,merci.
bonsoir
1) je ne vois pas où est ton problème ... ce que tu crois avoir omis est inutile puisque tu as f(x+y)=f(x)+f(y) et f(Kx)=Kf(x) pour tout K dans Q
bonjour matheuxmatou et merci d'avoir répondu,
justement ai-je bien démontré que f(Kx)=Kf(x)) pour tt K dans Q?
oui c'est bien mes notaions,ok merci je suis rassurré;s'agissant de ma ligne finale,je rajoute en fait la linéarité dans Q(-) d'où j'ai ai ainsi la linéarté ds tout Q .
bonjour,
voici la partie sur laquelle je bloque:conclure,après les 2 premières questions, que f est linéaire et continue.Mon idée pour passer de Q-linéaire à linéaire(je pense que ça sous-entend R-linéiare) est d'utiliser la proprité de densité de Q ds R ,sino je ne sais pas comment faire.
en gros, tu dois pouvoir montrer aisément avec le (2) que f est continue en 0.
ensuite, avec l'additivité (en hypothèse du problème) et le fait que f(x-y) = f(x)-f(y), tu dois montrer que f est continue en tout a de E.
enfin pour montrer que f(r*x)=r*f(x) pour tout x de E et r de R, tu prends une suite q(n) de rationnels qui tend vers r (densité) et avec la continuité de f adjoint au fait que f(q(n)*x)=q(n)*f(x), tu dois y arriver.
MM
bonjour et merci MM
que penses-tu de ma dém.de la linéarité-je me sers de tes idées -:soit q(n) dans Q tendant vers r dans R (par densité);d'après la Q-linéarité de f ,f(q(n)*x)=q(n)*f(x) pour tout x dans E;je suppose avoir démontré que f est continue,donc limf(q(n)*x)=f(limq(n)*x)=(par densité)= f(r*x);on a aussi limf(q(n)*x)=limq(n)*f(x)-Q-linéarité=r*f(x);d'où f(r*x)=r*f(x) donc linéarité.
bonjour à nouveau MM,
pour la continuité je pense avoir trouvé autrement à l'aide d'un thm:puisque ma fonction f est bornée sur la boule unité par hypothèse et qu'on vient de démontrer qu'elle était linéaire alors il est équivalent de dire qu'elle est continue;s'agissant de montrer la continuité en 0 d'une autre façon:pour tt epsilon (=e) il existe L=(e/M)(ds Q) tq ||x||<=e/M -----> ||f(x)||<=e/M*M =e ,ce qui est possible d'après 2),d'où la continuité en 0;s'agissant de ta méthode avec l'additivité et le fait que f(x-y)=f(x)-f(y) j'ai du mal.
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