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Applications affines géométrie avec paramètres

Posté par Profil Fifaliana36 16-08-19 à 21:02

Bonjour, notre prof nous a donné cet exercice de révision géométrie. On n'a jamais été confronté à cette typologie d'exo alors j'aurais besoin de votre soutien svp.

Le plan affiné euclidien E est rapporté à un repére orthonormé (0;i;j)
On donne le réel m et avec ]0;2[.
Soit T(m;) l'application  définie par: z'=m.e4i.z(barre)+1
1) a) définir l'expression analytique de l'application T(m,
b) Pour quelles valeurs de m, T(m,) est-elle une application bijective ?
2)a) pour quelles valeurs de m, l'application T admet-elle un seul pt invariant?
b) dans ce cas, déterminer en fonction de m et leurs coordonnées.
c) déterminerdans le cas où I(\frac{\sqrt{2}-1}{3};\frac{\sqrt2}{3}) est un pt invariant par T(2;).
3) a) pour quelles valeurs de m, l'application T est une isométrie
b) pour chacune des valeurs de m trouvées, caracteriser l'application T(m;/2)
4)a) donner l'équation de la première droite globalement invariante par par T(3/2;/6).
b) donner la nature de l'application T(3/2;/6) et préciser ses éléments caractéristiques.

Pour 1)a)x'+iy'=m.e^4^i^\theta .(x-iy)+1
                                            =m[cos4\theta +isin4\theta](x-iy)+1
Aprés simplification et identification
x'=m cos(4) x+m sin (4) y +1

y'= m cos (4) y+m sin (4) x

Est-je fait une faute ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 08:54

Bon je vois que personne ne peut m'aider.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 09:05

Bonjour
erreur de signe dans y', je te laisse trouver où

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 09:08

Oui j'ai trouvé y'=-m cos (4) x + m sin(4) x.

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 09:13

Et pour la suite, pour quelles valeurs de m, T est une application affine bijective. Ça veut dire que T n'admet pas de pt invariant n'est ce pas ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 10:19

Bonjour,

  Non, ça veut dire que tout complexe  admet un unique antécédent par T_{(m,\theta)}

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 10:44

D'accord, mais je ne sais pas comment trouver le réel m.

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 11:26

La question peut se poser de la manière suivante:

Le couple (x'y') étant fixé, à quelle(s) condition(s) sur m, le système:

\begin{cases}m\,\cos\,4\theta\,x+m\,\sin\,4\,\theta\,y=x'-1\\m\,\sin\,4\,\theta\,x-m\,\cos\,4\,\theta\,y=y'\end{cases}

  a-t-il une solution unique en x,y ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 11:28

Mieux comme ceci:

   \begin{cases}m\,\cos\,(4\,\theta )\,x+m\,\sin\,(4\,\theta )\,y=x'-1\\m\,\sin\,(4\,\theta )\,x-m\,\cos\,(4\,\theta )\,y=y'\end{cases}

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 12:22

J'essaie mais je suis dans une impasse.

Posté par
carpediemre : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 12:31

salut

passer par l'expression algébrique d'un complexe pour vérifier la bijectivité est  ... stupide

y = f(z) = me^{4ti} \bar z + 1 \iff me^{4ti} \bar z = y - 1 \iff

pour obtenir z il faut alors maintenant diviser par me^{4ti} ... mais cela est-il possible ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 13:26

"stupide" n'est pas l'adjectif que j'aurais employé...

Posté par
carpediemre : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 13:40

oui j'ai mis trois petits points pour chercher un adjectif plus approprié ... mais je voilais quelque chose de plus fort que inutile aussi  ... disons sans intérêt ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 20:12

Oui mais c'est ce que les concepteurs du sujet ont indiqué alors on est obligé de faire avec.

Posté par
carpediemre : Applications affines géométrie avec paramètres 17-08-19 à 20:44

ouais on peut très bien faire 1b/ comme je l'ai fait indépendamment de 1a/ ...

de toute façon rien qu'en regardant le système on voit que ....

enfin les concepteurs "conceptent" en fonction du public auquel il s'adresse ... malheureusement ....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 18-08-19 à 08:32

Bonjour,
Mon petit grain de sel :
La question 1)b) ne commence pas par "en déduire".
A mon avis, il n'y a donc aucune obligation à utiliser a).

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 19-08-19 à 20:06

D'accord, alors au final que faire.

Posté par
carpediemre : Applications affines géométrie avec paramètres 19-08-19 à 20:10

comme tu le sens !!!

soit résoudre un système d'inconnues réelles soit résoudre une (seule) équation d'inconnue complexe ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 19-08-19 à 20:43

En fait, il n'y a pas nécessité de résoudre jusqu'au bout.
Il s'agit de trouver quand il y a une unique solution. Le calcul de la solution quand elle est unique ne sert à rien.

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 24-08-19 à 20:11

Mais comment savoir qu'il n'y a qu'une solution et une seule ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 24-08-19 à 21:00

Bonsoir,
Si tu connais-tu une propriété qui permet de savoir s'il y a ou non une unique solution pour un système de la forme
\begin{cases} ax+by = c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}
alors tu peux utiliser la méthode de lake du 17 à 11h26 et 11h28.

Sinon, tu peux utiliser la méthode de carpediem le 17 à 12h31.
Il suffit de savoir quand une équation d'inconnue \; z \; de la forme \; az = b \; admet une unique solution.

Petite aide : Que ferais-tu pour résoudre dans l'équation \; kx = \; 2019 \; ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 14:56

Je n'arrive pas à résoudre cette équation dans que vous avez donné comme exemple.

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 15:25

Voyons,  k réel est fixé.

A quelle condition sur k l'équation k.x=2019 d'inconnue réelle x a-t-elle une solution ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 15:31

Désolé,mais je sais pas.

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 15:35

Si k=1,  que vaut x ?

Si k=2,  que vaut x ?

Si k=-\pi,  que vaut x ?

Si k=\sqrt{3},  que vaut x ?

N'y aura-t-il pas un problème pour une certaine valeur de k ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 15:51

Pour k=0 ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 16:10

On y est! Donc continuons en reprenant la méthode carpediem:

  

Citation :
y = f(z) = me^{4ti} \bar z + 1 \iff me^{4ti} \bar z = y - 1 \iff


et en conjuguant:

\iff m\,e^{-4ti}z=\bar{y}-1

  C'est exactement le même problème:

A quelle condition sur m cette équation en z a-t-elle une solution ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 16:27

Si m0?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 16:43

Eh oui !

T_{m,\theta} est une application bijective si et seulement si m\not=0

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 16:48

Et avant de continuer, il est logique de s'intéresser au cas m=0:

Quelle est l'application T_{0,\theta} ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 20:37

Eh bien si m=0, z'=1 mais je sais pas si c'est l'identité du plan ou bien quelque chose d'autre.

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 20:44

Non, pas l'identité mais une application constante qui à tout complexe de \mathcal{C} fait correspondre le complexe 1.

En l'occurrence, une application qui n'a pas grand intérêt...

Les choses sont plus intéressantes lorsque m\not=0.

C'est la suite de ton exercice.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 20:46

Bonsoir,
L'identité du plan, c'est l'application qui à tout point M du plan associe lui même.
L'image de M(z) est M'(z) pour l'identité du plan.

Or pour m=0 , on a M'(1) .
Donne un nom au point d'affixe 1.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 20:48

Bonsoir lake \;
Je te laisse continuer. Je croyais que tu étais parti.

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 21:01

2) Bon, m0 et soit A(1).
Valeurs de m, pour qu'il n'y ait qu un seul pt invariant.
T est une similitude indirect n'est ce pas ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 25-08-19 à 21:27

Citation :
T est une similitude indirecte n'est ce pas ?


C'est sûr !

Par contre, dans cette question 2), il n'y a aucune raison pour que m\not=0

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 26-08-19 à 07:38

Une similitude indirect avec un angle?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 26-08-19 à 09:44

Une similitude indirecte n'a pas d'angle.

De toute manière, pour cette question:

  

Citation :
2)a) pour quelles valeurs de m, l'application T admet-elle un seul pt invariant?


   Il faut déterminer à quelle(s) condition(s) l'équation:

    T_{m,\theta}(z)=z

  a une unique solution.

Cette équation est équivalente à:

    z=m\,e^{4i\theta}\bar{z}+1   (1)


  Inutile de passer aux coordonnées cartésiennes pour l'instant. Tu conjugues:

    \bar{z}=m\,e^{-4i\theta}z+1 et tu remplaces \bar{z} \\ par son expression en fonction de z,m,\theta dans (1):

  z=me^{4i\theta}[me^{-4i\theta}z+1]+1

Tu développes, tu arranges tout ça et tu détermines à quelle(s) condition(s) cette équation en z a une unique solution.

C'est un peu la même méthode qu'en 1)b).

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 26-08-19 à 20:05

D'accord

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 27-08-19 à 08:13

Que tu sois "d'accord", je n'en doute pas. Mais il faut tout de même répondre à la question:

  

Citation :
2)a) pour quelles valeurs de m, l'application T admet-elle un seul pt invariant?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 20:23

En suivant vos conseils, j'ai obtenu
z=m²z+me^{4i\theta }+1
Donc, z=\frac{me^{4i\theta}}{1-m²}
Pour que f(z)=z
Ai-je bien fait ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 20:41

Tu as oublié un 1 au numérateur.

Mais ce n'est pas ça le principal; tu as oublié la question:

    

Citation :
2)a) pour quelles valeurs de m, l'application T admet-elle un seul pt invariant?


Tu arrives à un moment dans tes calculs à:

  (1-m^2)z=1+m\,e^{4i\theta}

  et tu t'empresses de diviser les deux membres par 1-m^2

A quelle(s) condition(s) peux-tu le faire ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 20:50

Si m1 et -1

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 20:53

Oui! et c'est à ces conditions: m\not=\pm1 que:

l'application T admet un unique point invariant.

  

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 21:15

pour que f(z)=z il faut que
z\frac{me^{4i\theta}+1}{1-m²}
Avec m≠±1
Donc le point M a pour affixe z=\frac{me^{4i\theta}+1}{1-m²}
M(\frac{mcos4\theta }{1-m²};\frac{msin4\theta}{1-m²})
Est-ce correct ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 21:25

Presque: tu as encore oublié le 1 au numérateur de l'abscisse.

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 21:27

Oups,..
Désolé
Mais à part le 1, est-ce correct ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 21:28

Mais oui! En doutais-tu ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 28-08-19 à 21:31

Euh, non

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:17

2)c)I est le pt invariant de T(2;5π/4)
3) T isométrie ssi |m.e4i|=1
Donc j'ai trouvé m=1

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