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Applications du produit scalaire
Il y a un des exercices de mon DM (pour mardi prochain) que je n'arrive pas du tout a faire a part la premiere question (et encore je ne suis meme pas sure que ce soit bon). Pouvez vous m'aider s'il vous plait car je suis totalement perdu?
voila l'exercice:
Le plan est muni d'un repere orthonormal (O;
;
). Soit deux nombres réels variables a et b strictement positifs tels que a+b=8. On considere les points A(a;0) et B(0;b).
1.a: écrire une équation cartésienne du cercle C de diametre [AB]
1.b: démontrer que quels que soient les nombres a et b, le cercle C passe par les deux points fixes O(0;0) et C(4;4).
1.c: Déterminer l'ensemble des centres I des cercles C lorsque a et b varient.
2: Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
3: Démontrer que le quadrilatere OACB a une aire constante.
4.a: Déterminer une équation catésienne de la droite (AB).
4.b: soit H le projeté orthogonal de O sur (AB). Calculer les coordonnées de H en fonction de a et b.
donc pour l'équation de cercle j'ai trouvé (a-0)²+(0-b)²=8
pour le reste c'est le noir complet!
Une équation de cercle où il n'y a pas de variable ??? C'est pas mal ça.
C'est l'application du produit scalaire .
Soit M(x,y) sut le cercle quelle propriété ont les vecteurs AM et BM???
Eh bien ils sont perpendiculaires .
en faisant leutr produit scalaire , j'obtiens :
(x-a)(x-0)+((y-0)(y-b)=0, ou
x2+y2-ax-by=0
C'est l'équation du cercle.
Pour le 1b, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées des points et de vérifier que c'est bon quelque soient a et b.
Pour le 1c, on a XI= a/2 et YI=b/2... Il faut se servir de la propriété de a et b .. je te laisse chercher ??
Comme a+b =8, XI+YI = (a+b)/2 =4.
I varie donc sur la droite d'équation y=-x+4 .
Mais attention uniquement la partie où x et y sont positifs puisque a et b sont positifs.
C'est donc le segment qui joint les points (0,4) et (4,0).
2. ABC est rectangle puisque AB est le diamètre et C appartient au cercle.
Il suffit de calculer les normes des vecteurs AC et BC pour s'apercevoir qu'elles sont égales.AC=BC=racine (32-8a+a2)
3. Il suffit de caculer la somme des aires des deux triangles rectangle (produit des côtés de l'angle droit divisé par 2) .. On trouve 16.
4a.
On écrit que Am et Bm sont parallème ;
(x-a)/(0-a)=(y-0)/(b-0)
y =(-b/a)x + b
4On écrit que Que OH est parpidiculaire à Ab et que H appartient à AB,
Donc deux équations à deux inconnues.. Je te laisse résoudre le système.
merci bien nofutur2, je savais pas que ca allait etre aussi rapide!
je résous l'équation et je te transmet pour vérification dans la soirée.
désolé de ne pas avoir répondu avant, j'ai eu des problemes avec ma connexion.
ben en fait il y a pas mal de trucs que je ne comprends pas:
pour la 1.b, je suis arrivé a 4a+4b=32 , ce qui me parrait bizarre
pour la 2, comment fait-on pour calculer la normes des vecteurs AC et BC ?
pour la 3, je ne comprends pas de quels triangles parles-tu ?
dans la 4.a tu dis "Am et Bm sont paralleles", mais d'ou sort le "m"?
et enfin la 4.b je n'arrive pas a trouver les équation (donc les résoudre).
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