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applications et ensembles
bonsoir
j'ai un devoir de mathsà rendre et je ne sais pas vraimenyt par où commencer, donc j'ai besoin de votre aide, en voici une partie:
1) Soit E un ensemble finit ayant n éléments, démontrez:
card P(E)=2 à la puisance n.
2)soit :
f:R \to R une application tel que:
fof(x) = 4x + 3 et fofof(x) = 8(x) + a
trouvez a.
3)Soit A, B et C 3parties de l'ensemble E:
demontrez:
A
( BC)=(AB)C
A intersection(BC)=(A intersection B)(A interctionC)
4)soient les ensembles:
A={(x,y)
R/(x au carré)-(y au carré)=3x-4y}
B={(x,y)R/2xy=4x+3y}
C={(x au carré)+(y au carré)/(x,y)(A intersection B)}.
Trouvez C, Cx{1,2} et Cx{2}.
Merci d'avance.
Bonjour,
pour former une partie à n éléments si tu numerotes les elements 1,2,...n pour chacun d'eux tu as deux choix le mettre dans ta partie ou l'exclure.
merci pour la réponse mais je n'ai pas très bien compris ce que tu veux dire par là.
Et bien mettons je veux former une partie de E={A,B,C}.
Et bien pour former une partie de E, je peux soit prendre A soit le laisser de cote puis soit prendre B soit le laisser de cote etc...
A l'arrivée j'ai 2 choix pour A puis 2 choix pour B et enfin encore 2 choix pour C.
Ce qui donne 2*2*2=2^3 choix.
pour la première questions ne peut-on pas utiliser la récurence.
Le raisonnement que j'ai fait convient tu peux aussi si tu veux le faire par recurrence.
Si on a 2^n parties dans un ensemble E à n éléments.Montrons qu'il y en a 2^(n+1) dans un ensemble G à (n+1) éléments.
G=E union {x} ou E à n éléments et x l'element supplementaire donc on peut former 2^n parties de G qui ne contiennent pas x mais egalement 2^n autres celles ou on ajoute x ce qui donne 2^n+2^n.
C'est la methode que j'ai proposée au debut formalisée 
Faute de frappe à la fin c'est puissance card(E).
Pas de probleme c'etait une bonne idée de chercher f sous la forme d'une application affine(c'en est forcement une d'ailleurs).
D'ailleurs il y a quand meme une petite astuce pour le montrer.
Ca m'a fait inventer un petit exo pour infophile(sur la bijectivité 
).
vous avez raison cauchy, l'exercice 2 n'a pas de solution si f n'est pas une fonction affine.
Bonjour 
Si est une fonction affine alors on peut l'écrire sous la forme
.
.
Par identification on obtient .
Et ainsi
Si est polynôme de degré supérieur à 1 ça ne fonctionne pas. Mais comment montrer que
est forcément une fonction affine ?
Bonjour
Il suffit de démontrer que la dérivée seconde de f s'annule et en déduire que c'est un polynôme. Ensuite en jouant sur le degré on montre facilement que f est forcément de degré 1.
Bonjour,
comment sais tu que f est dérivable?
Moi j'avais cette idée fof est affine,donc sa reciproque g est egalement affine.
fofof est egalement affine donc fo(fofog)=f est affine.
Maintenant exo:
1) montrer que fof bijective ssi f bijective.
2)soit f: x--->ax+b ,a non nul,montrer que f est bijective.
3)Trouver la reciproque de f.
4) Soient f: x--->ax+b et g: x--->cx+d,a et c non nuls.
Montrer que fog est affine.
je n'ai pas compris comment avez vous obtenu:f(x)=2x+1 par identifications? et pouvez vous m'indiquez,infophile, où est ce que je trouverai l'exercice3?
je voudrai que quelqu'un m'indique seulement comment commencer l'exercice 4, je n'ai pas besoin de toute la réponse.
Cauchy :
1) fog injective => g injective et fog surjective => f surjective
fof bijective => f injective et f surjective => f bijective.
La réciproque est aussi simple :
Supposons f bijective :
(fof)(x)=(fof)(x')<=> f(f(x))=f(f(x')) => f(x)=f(x') => x=x' donc fof injective
Puisque f est surjective, pour tout z il existe y tel que z=f(y) et y=f(x).
On a donc z=f(f(x)) quelque soit z d'où fof est surjective.
Finalement fof est bijective.
2) Trivial
3)y=ax+b <=> x=1/a(y-b)
4) Trivial aussi ^^
Bah tiens infophile pour me rattraper :
Soient E et F deux ensembles non vides.
Montrer l'équivalence :
(Il existe une injection de E dans F) <=> (Il existe une surjection de F dans E)
je respecte votre joie de résoudre des exercices trop durs mais je voudrai bien que quelqu'un ait la gentillesse de me donner un petit coup de pouce copncernant l'exercice 4 si ça ne vous dérange pas bien sûr.
Le 4) tu as ecris toutes les conditions qu'impliquent le fait d'appartenir à C?
Essaie aussi un dessin pour representer les ensembles.
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