Bonsoir,

L'idée de base est de dire que, pour x "assez grand" f sera "assez proche de 0".
Si g est périodique non nulle, elle passe par un max et un min distincts l'un de l'autre sur chaque période.
Donc, f étant "assez petit", f+g passera également par un max et un min proches du max et du min de g.
Ceci contredit l'hypothèse que f+g est croissante.
Donc g est identiquement nulle.

Je te laisse mettre ça en forme...

Tu peux aussi suivre la méthode de l'énoncé
Pose g = (f+g)-f
f+g est croissante par hypothèse, donc pour x "assez grand", f est "assez petit", donc g est aussi croissante.
Pour le montrer, tu peux encadrer g comme ceci :
(f+g)-|f| g ((f+g)+|f|

Merci LeHibou pour ton aide

Je vois pas trop à quoi arriver de ton encadrement au ", g(x)g(x')+

"comment" au lieu de "à quoi"

Je vois seulement que je peux majorer le abs(f) par >0 puisque f tend vers 0

Si x x' et f+g est croissante, alors fx)+g(x) f(x')+g(x')
donc g(x) g(x')+f(x')-f(x)
donc g(x) g(x')+|f(x)|+f(x')|
Il suffit alors de prendre, pour un > 0 donné, x et x' assez grand pour assurer |f(x)| < /2 et |f(x')| < /2, et on en déduit :
g(x) g(x')+

Ok très bien.

Juste une chose : si je comprends bien vous majorez (-f(x)+f(x')) par abs(f(x)+f(x'))?

Non, je majore (-f(x)+f(x')) par abs(f(x))+abs(f(x'))
Idée de la suite :
On a montré que, pour tout > 0, on peut garantir que pour x  et x' assez grands, on a  :
g(x)-g(x')
On en déduit que x x' implique g(x)-g(x') 0
(le démontrer par l'absurde)
donc g est croissante.
On conclut en montrant facilement qu'une fonction à la fois croissante et périodique est constante.

"Juste une chose : si je comprends bien vous majorez (-f(x)+f(x')) par abs(f(x)+f(x'))?"
"Non, je majore (-f(x)+f(x')) par abs(f(x))+abs(f(x'))"
c'est ce que j'ai dit non? ^^

D'accord je vois comment continuer

Merci beaucoup pour ton aide en tous les cas

Toi tu avais parlé d'une majoration par abs(f(x)+f(x')), et moi par abs(f(x))+abs(f(x')), ça n'est pas exactement la même chose...

Bonne journée !
LeHibou