Niveau Licence Maths 1e ann

Approximation

Posté par
kekeyo1 17-03-09 à 22:35

Bonsoir,
j'ai une question concernant une approx au 1er ordre.
si on considère la fonction

$A.e^{-jkr}(1-e^{-jkd)}$

avec $j= \sqrt{-1}$ ,A et d réels positifs et r et k réels

Si on nous demande une approximation au 1er odre et si on suppose $r \gg d$ et $kd \ll 1$ peut on dire

$A.e^{-jkr}(1-e^{-jkd)}=A(1-jkr)(jkd)$ en prenant $e^{X} \sim 1+X$

puis d'après les conditions $A(1-jkr)(jkd)=A(jkd+kr)=Akr$ (puisque kr tend vers 0...)

je ne suis sur de rien. Je travaille en fait sur des annales et ne possède pas forcément les bonnes connaissances ! Veuillez me guider

Merci d'avance

Posté par re : Approximation 17-03-09 à 23:00

Bonsoir,
avec les indications que tu donnes on ne peut rien dire de $kr$ et donc de $A.e^{-jkr}$ .
On laisse donc ce terme tel quel.
Mais on peut en effet dire que $(1-e^{-jkd})\simeq j k d$
D'où
$A.e^{-jkr}(1-e^{-jkd})\simeq A j k d\cdot e^{-jkr}$

Posté par re : Approximation 17-03-09 à 23:13

Merci bien
Si on me demande l'approximation d'un quotient, je peux dire qu'elle est égale au quotient des approximations ?

Posté par re : Approximation 17-03-09 à 23:30

Non : il y a des cas où c'est faux, quand l'approximation du dénominateur zéro en particulier.
Mais c'est souvent vrai...

Posté par re : Approximation 24-03-09 à 18:37

Bonjour,
Je relance la discussion; je ne pense pas que ce soit juste...
Si on trouve donc $Ajkde^{-jkr}$ pour cette fonction qu'on appellera x
et par analogie l'approximation d'une fonction y
$y=\frac {A}{R} e^{-jkr}- \frac{A}{R}e^{-jk(r+d)} \\ \simeq \frac{A}{R}jkde^{-jkr}$

Et que ensuite on demande $20log(\begin{vmatrix} \\ \frac {y}{x}\\ \\ \\ \end{vmatrix})$

On trouverait 1/r.
Or une question par la suite de cet exercice semble sous entendre que l'on devrait trouver

$20log(\begin{vmatrix} \\ \frac {y}{x}\\ \\ \\ \end{vmatrix})= 10log(1+ \frac{1}{(kr^{2})})$

Quelles seraient alors les bonnes approximations ?? (quelque chose du type y/x = 1 + 1/kr je suppose... mais pk ? )

Merci pour votre aide

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