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Approximation de ln 2

Posté par
grungie 12-03-16 à 15:55

Bonjour !
J'ai ce DM à faire pour lundi qui me pose problème...
Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci d'avance !

Approximation de ln 2

A) Etude d'un algorithme
On considère l'algorithme proposé ci-joint où n appartient à *.
1) Quelle est, parmi les propositions suivantes, la somme que cet algorithme permet de calculer ?
a. 1+1/2+...+1/n          b. 1+1/2+...+1/(n+1)          c. 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n          d. 1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k-1)
2) Programmer cet algorithme sur un logiciel ou une calculatrice, au choix.
Qu'obtient-on pour n = 10 ? n = 100 ? n = 1 000 ? Comparer ces résultats à ln 2.

B) Justification théorique
On note, pour tout n de *, un la somme proposée en A)1)c. et on considère les fonctions f et g définies sur ]0; +[ par f(x) = 1  -x + ln x et g(x) = 1/x - 1 + ln x.
1) Etudier le sens de variation de f et g. En déduire que pour tout x>0, 1 - 1/xln xx-1.
2) En applicant ce résultat à x = (k+1)/k pour k *, montrer que 1/(k+1)ln(k+1) - ln(k)1/k.
3) Additionner les inégalités de la question 2) pour k allant de n à 2n-1.
4) En déduire que : -1/2nun-ln20, puis la limite de (un).

Approximation de ln 2

Posté par
lakere : Approximation de ln 2 12-03-16 à 16:57

Bonjour,

1) C' est la proposition c)

Posté par
lakere : Approximation de ln 2 12-03-16 à 17:08

2) n=10, u\approx 0.6688

n=100, u\approx 0.6907

n=1000, u\approx 0.6929

A comparer à \ln\,2\approx 0.6931

C' est un début...

Posté par
lakere : Approximation de ln 2 12-03-16 à 17:27

B)1) Normalement, tu dois réussir cette question; il n' y a pas de difficultés.

B)2) On a donc pour tout x>0:

1-\dfrac{1}{x}\leq \ln\,x\leq x-1

Avec x=\dfrac{k+1}{k}, on obtient:

1-\dfrac{k}{k+1}\leq \ln\,(k+1)-\ln\,k\leq \dfrac{k+1}{k}-1

soit: \dfrac{1}{k+1}\leq \ln\,(k+1)-\ln\,k\leq \dfrac{1}{k}

B)3) On écrit les n inégalités pour k=n,n+1,\cdots ,2n-2,2n-1 et on somme pour obtenir:

\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{2n}\leq \ln\,(2n)-\ln\,n\leq \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}

C' est à dire:  u_n\leq \ln\,2\leq u_n+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n}

    u_n\leq \ln\,2\leq u_n+\dfrac{1}{2n}

B)4) On en déduit:

-\dfrac{1}{2n}\leq u_n-\ln_,2\leq 0

puis \lim\limits_{n\to +\infty}u_n-\ln\,2=0 avec les gendarmes.

ou encore: \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln_,2

Posté par
grungiere : Approximation de ln 2 13-03-16 à 09:59

Bonjour et merci pour votre réponse
J'ai justifier comme cela pour la question 1) :  l'algorithme indique que u0=0 et uk=(u0+1)/(n+k) pour k allant de 1 à n.
Donc pour k=1; u1=(u0+1)/(n+1) = (0+1)/(n+1) = 1/(n+1).
J'ai fait de même pour k=2 et je trouve u2 = 1/(n+2); et de même pour k=n; je trouve que un = 1/2n.
L'algorithme permet de calculer la somme u1 + u2 + ... + un pour k allant de 0 à n, soit 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n, donc la proposition juste est la c).
Ma justification est-elle juste ? ☺️

Posté par
lakere : Approximation de ln 2 13-03-16 à 10:28

Citation :
l'algorithme indique que u0=0 et uk=(u0+1)/(n+k) pour k allant de 1 à n.


Non:

u_1=u_0+\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}

u_2=u_1+\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}

   \vdots\qquad\vdots

u_{n-1}=u_{n-2}+\dfrac{1}{n+n-1}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n-2}+ \dfrac{1}{2n-1}

L' algorithme renvoie u_n=u_{n-1}+\dfrac{1}{n+n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+ \dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}

Posté par
grungiere : Approximation de ln 2 13-03-16 à 10:41

D'accord merci je comprend mieux. Ensuite pour la 2) j'en est déduit que ln2u pour n = 1000

B) 1) je trouve que f(x) est décroissante et g(x) croissant mais je n'arrive pas à retrouver l'inégalité...

Posté par
lakere : Approximation de ln 2 13-03-16 à 10:59

B)1)  

Citation :
je trouve que f(x) est décroissante et g(x) croissant mais je n'arrive pas à retrouver l'inégalité...


Sur quels intervalles ?

Tu as du commettre des erreurs:

f'(x)=-1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1-x}{x}

L' étude du signe de cette dérivée sur ]0,+\infty[ donne:

f est croissante sur ]0,1] et décroissante sur [1,+\infty[

f présente donc un maximum en 1 et f(1)=0

   donc sur ]0,+\infty[, f(x)\leq 0, c' est à dire:

\ln\,x\leq x-1

g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x^2}

L' étude du signe de cette dérivée sur ]0,+\infty[ donne:

g est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+\infty[

g présente donc un minimum en 1 et g(1)=0

   donc sur ]0,+\infty[, g(x)\geq 0, c' est à dire:

1-\dfrac{1}{x}\leq \ln\,x

En résumé, pour tout x>0:

1-\dfrac{1}{x}\leq \ln\,x\leq x-1

Posté par
grungiere : Approximation de ln 2 13-03-16 à 11:11

D'accord ça marche, c'est compris ! Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
lakere : Approximation de ln 2 13-03-16 à 14:28


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