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Approximation rationnelle d'une fonction
Bonjour à tous,
j'aimerais soliciter votre aide car j'ai quelques petits problèmes avec un exercice d'analyse, voici l'énoncé:
Soit f définie sur 
par f(t)=t3 + t
Première partie : Etude de la fonction g, bijection réciproque de f
--->pas de problème et on trouve au final que pour tout x appartenant à, g3(x) + g(x) =x
Deuxième partie :
a) Montrer que g admet au voisinage de 0 un développement limité à tout ordre. L'expliciter à l'ordre 3.
--->J'ai utilisé la formule de Taylor-Young, mais je ne vois pas comment l'expliciter à l'ordre 3, car j'ai la dérivée première sans trop de problème : g'(x)= 1/(f'(x)o g(x)) soit g'(x)= 1/(3g2(x) +1
mais je n'arrive pas à expliciter la dérivée seconde et la dérivée troisième en fonction g?
b)Montrer que g(x)équivaut à x1/3 au voisinage de +
.
c) On écrit g(x) sous la forme x1/3[1 + h(x)] où lim h=0 en + l'infini. Expliciter la relation satisfaite par h. En déduire que la fonction x
x1/3 h(x) admet en + l'infini une limite que l'on determinera.
Voila pour ces deux questions, je ne vois pas dutout où chercher.
Merci d'avance
Bonjour
Le mieux est de dire que g(x)=ax+bx3+x3
(x), de l'injecter dans l'équation et d'utiliser les coefficients indéterminés.
pr montrer le DL à tout ordre, on peut dire que g est de classe C au voisinage de 0 dc admet un DL à tt ordre.
Je crois que c'est possible mais je suis pas très sûr ?
Pour le reste je bloque aussi !
Pour l'existence du développement il suffit de vérifier que f'(0)
0.
Pour l'avoir: g est impaire (comme f), donc g(x)=ax+bx3+o(x3). Alors
donc a=1 et a+b=0.
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