Niveau terminale

apropos d'équation differentielles

Posté par
maryu 26-01-14 à 12:33

bonjour toutl le monde j'ai DM à faire si quelqu'un peut m'aider et merci d'avance, voila l'énoncé
soit F la fonction primitive de f(x)=2/(4x^2+1) définie sur R et qui s'annule en 0
1)montrer que F est impair
2)montrer que (x+)ln(1+2x)F(x)
et préciser lim(qnd x tend vers +)F(x)
3) montrer que F est une bijection du R vers R posons G=F^(-1)
montrer que G est dérivable et que G'(x)=(1+4G(x)^2)/2

déduire que G est dérivable 2 fois sur R et que la solution de équations differnetielle : y"-y=0

Posté par re : apropos d'équation differentielles 27-01-14 à 09:54

Bonjour,
1)montre que  f est paire sur $\R$
d'où pour tout x de $\R$
$\int_x^x\dfrac{2}{\sqrt{4t^2+1}}dt=2\int_0^x\dfrac{2}{\sqrt{4x^2+1}}dt$

$\int_x^0\dfrac{2}{\sqrt{4x^2+1}}dt=\int_0^x\dfrac{2}{\sqrt{4x^2+1}}dt$ -
-F(-x)=F(x)
donc F est impaire
2) sur $\R^{+}$
$4t^2+1=(2t+1)^2-4t \\ \sqrt{4t^2+1}\leq 2t+1 \\ \\ \dfrac{1}{2t+1}leq \dfrac{1}{\sqrt{4t^2+1}}\leq\dfrac{2}{4t^2+1} \\ \\ \int_0^x \dfrac{1}{2t+1}}dt\leq \int_0^x \dfrac{1}{2t+1}dt \\ \\ ln(2x+1)\leq F(x)$

$\lim _{x+to+\infty}ln(2x+1)=+\infty \\ \lim _{x+to+\infty} F (x)=+\infty \\$
3)
$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{4x^2+1}}> 0$
F est une  fonction  impaire  continue et strictement croissante sur $\R$
F est donc bijective  de $\R$ vers $\R$ , puisque les limites de F sont ± ∞ quand x tend vers±∞

Posté par re : apropos d'équation differentielles 27-01-14 à 10:00

bonjour,
tu dois revenir aux bases de la définition de F

F(x) = (de 0 à x) 2.dt/(4t²+1)

pour le 1/
exprime F(-x) et compare le avec F(x) après avoir effectuer le changement de variables u=-t

pour le 2/
rappelle toi que ln(1+2x) = (de 0 à x) 2.dt/1+2t ... compare les deux fonctions dans l'intégrale et utilise les propriétés des intégrales.
calcule la limite de ln(1+2x) et utilise les théorèmes de comparaison des limites.

pour le 3/
Tu as une fonction impaire, dérivable et de dérivée strictement positive qui va de dans (car les limites en - et + infini sont infinies) ... tu as donc une bijection
(f^-1)' = 1/f'(f^-1) ...

à toi de jouer

Posté par re : apropos d'équation differentielles 27-01-14 à 10:19

$y=F(x)$

$(F^{-1})'y=\dfrac{1}{F'(x)}$

$=\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{2}$

$=\dfrac{4(F^{-1})^2y+1}{2}$

$G'(x)=\dfrac{\sqrt{1+4G^2(x)}}{2}$

Posté par re : apropos d'équation differentielles 27-01-14 à 10:21

Bonjour GGenn,

Posté par re : apropos d'équation differentielles 27-01-14 à 14:02

$G'(x)=\dfrac{\sqrt{1+4G^2(x)}}{2}$
$2G'(x)=\sqrt{1+4G^2(x)}$
G est dérivable
$2G''(x)=\dfrac{8G'(x)G(x)}{2\sqrt{1+4G^2(x)}}=$ $\dfrac{2G'(x)G(x)}{G'(x)}$
$G''(x)=G(x)$
G est solution de $y''-y=0$

Posté par re : apropos d'équation differentielles 27-01-14 à 18:05

bonsoir Labo
quelqu'un(e) a-t'il revu maryu ?

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