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arithmétique 4
Bonjour, je n'arrive pas à comprendre quelques éléments de correction de cet exo:
Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que a>b. Démontrer que si on divise a et b par leur différence a-b, les deux quotients obtenus diffèrent de 1, et les restes sont égaux.
Correction:
soit q et r le quotietn et le reste de la division de a par a-b. On a:
a= (a-b)q+R avec 0
ra-b-1.
Pourquoi a-b-1?
De même, pour écrire la division de b par (b-a), la correction met ceci:
b=a+(b-a) ?? pourquoi ? ce n'est pas plutôt b = (b-a)q +r ?
Bonjour,
Dans une division euclidienne de a par b, tu as un quotient q et un reste r, tel que :
a = b*q + r ; avec 0 <= r < b ; Ceci est la définition d'une division euclidienne.
Mais 0 <= r < b est équivalent à 0 <= r <= b-1 ;
Quand tu as deux entiers n et m, n < m c'est pareil que n <= m-1
Par exemple, 4 < 5 et 4 <= 4 ; c'est vrai.
3 < 6 et 3 <= 5 ; c'est vrai aussi.
Et ensuite, la division de b par (a-b) est :
b = (a-b)*(q-1) + R ;
donc b = (a-b)*(-1) + (a-b)*q + R
Donc b = -a + b + (a-b)q + R
Donc 0 = -a +(a-b)q + R
Donc a = (a-b)q+R
Et la dernière ligne est vraie car c'est ce qu'on a au début.
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