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Arithmétique

Posté par MEMED (invité) 31-10-06 à 20:58

Petit probleme d'exercice. Je suis actuellement en classe de Terminale S et, par définition de la terminale S, les exercices de maths posent le plus souvent des problèmes.
Je n'arrive vraiment pas a trouver la relation demandée. Merci de bien vouloir m'aider, j'essaie de faire de mon mieu mais je n'y arrive pas...
L'énoncé est le suivant:
Le problème principal est de trouver une technique de résolution d'équation du type x3+px+q=0   [1]

une aide me propose de partir comme cela:

Posons x=a+b
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 donne x3=a3+b3+3ab(a+b)

L'équation x3+px+q=0 s'écrit alors x3=a3+b3+3ab(a+b)+p(a+b)+q=0    [2]

L'idée est de chercher une condition suffisante pour que x soit solution.
Si a3+b3=-q et si 3ab=-p, alors (a,b) est solution de [2] et x est solution de [1]

On sait que 3ab=-p équivaut à 27a3b3=-p3.

Le problème est alors de résoudre le système:

+
|a3+b3=-q
|27a3b3=-p3
+

Voici la question qui tue....

En posant u=a3 et v=b3 quelle equation du second degré U et V vérifient-ils? et à quelle condition sur p et q celle-ci admet-elle des solutions réelles?


Je vous remercie infiniment! une mauvaise note fera du mal a ma moyenne...

Posté par
infophilere : Arithmétique 31-10-06 à 21:21

Bonsoir

On pose U=a^3 et V=b^3 alors le système devient :

\{U+V=-q\\UV=-\frac{p^3}{27}

Ainsi U et V sont solutions de l'équation :

3$\rm\fbox{%20t^{2}+qt-\frac{p^{3}}{27}=0}

On le démontre facilement :

3$\rm%20\{{x+y=S\\xy=P

Dans la première ligne on obtient : y=S-x \\

On substitue dans la deuxième :

x(S-x)=P\Leftright -x^2+Sx-P=0\Leftright x^2-Sx+P=0

Et on retrouve le résultat.

Je te laisse finir

\Large \overline{\star \int \eta f \theta \Gamma \lambda \imath \ell \exists \star}

Posté par MEMED (invité)re : Arithmétique 31-10-06 à 21:47

Merci beaucoup infophile

Posté par
infophilere : Arithmétique 31-10-06 à 21:52

Je t'en prie

\Large \overline{\star \int \eta f \theta \Gamma \lambda \imath \ell \exists \star}

Posté par MEMED (invité)re : Arithmétique 01-11-06 à 18:29

Merci encore infophile mais, je vais encore vous embêter....
La suite de l'exercice s'est bien passée jusqu'à un nouveau petit gros problème (certainement une de mes lacunes en maths....il faudrait que je corrige ca au plus vite)

Voila: il fallait que j'applique le raisonnement que vous m'aviez indiqué plus haut pour calculer cet exemple: x3+6x-20=0 (je rapelle: une équation du type x3+px+q=0)

une racine évidente est 2.  j'ai trouvé:

-pour x=a+b, p=6 et q=-20, l'equation se ramenait à

a3+b3+3ab(a+b)+6(a+b)-20=0

-pour u=a3 et v=b3 on avait le systeme
\{{a^3+b^3=-q\atop 27a^3b^3=-p^3} \{{u+v=-q\atop 27uv=-p^3}

qui nous donnait l'equation du second degré:
-u2+20u=-8 u2-20u=8 u2-20u-8=0

J'ai trouvé =q2+(4p3/27) = 432

comme x=a+b et que (a3,b3) = (u,v), alors
x=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{432}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{432}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{20+\sqrt{432}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{20- \sqrt{432}}{2}}

J'ai bien trouvé x=2 en effectuant ce calcul.

Voici la suite de l'énoncé

Trouver un cube égal à 10+6\sqrt{3} qu'on cherchera sous forme (n+m\sqrt{3})^3 avec n et m entiers.

Ecrire (n+m\sqrt{3})^3 sous forme N+M\sqrt{3}, si on peut trouver n et m tels que N=10 et M=6, c'est gagné! (oui l'énoncé dit bien c'est gagné! )

Enfin, montrer que si n et m sont solutions alos m divise 2 et n divise 10; quelles sont les solutions possibles?en déduire \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} et \sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}


Voila merci encore et désolé pour l'abus! je bloque que sur l'histoire avec N+M\sqrt{3}....comme la suite en dépend..... Merci encore et encore...

Posté par MEMED (invité)re : Arithmétique 01-11-06 à 18:29

Merci encore infophile mais, je vais encore vous embêter....
La suite de l'exercice s'est bien passée jusqu'à un nouveau petit gros problème (certainement une de mes lacunes en maths....il faudrait que je corrige ca au plus vite)

Voila: il fallait que j'applique le raisonnement que vous m'aviez indiqué plus haut pour calculer cet exemple: x3+6x-20=0 (je rapelle: une équation du type x3+px+q=0)

une racine évidente est 2.  j'ai trouvé:

-pour x=a+b, p=6 et q=-20, l'equation se ramenait à

a3+b3+3ab(a+b)+6(a+b)-20=0

-pour u=a3 et v=b3 on avait le systeme
\{{a^3+b^3=-q\atop 27a^3b^3=-p^3} \{{u+v=-q\atop 27uv=-p^3}

qui nous donnait l'equation du second degré:
-u2+20u=-8 u2-20u=8 u2-20u-8=0

J'ai trouvé =q2+(4p3/27) = 432

comme x=a+b et que (a3,b3) = (u,v), alors
x=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{432}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{432}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{20+\sqrt{432}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{20- \sqrt{432}}{2}}

J'ai bien trouvé x=2 en effectuant ce calcul.

Voici la suite de l'énoncé

Trouver un cube égal à 10+6\sqrt{3} qu'on cherchera sous forme (n+m\sqrt{3})^3 avec n et m entiers.

Ecrire (n+m\sqrt{3})^3 sous forme N+M\sqrt{3}, si on peut trouver n et m tels que N=10 et M=6, c'est gagné! (oui l'énoncé dit bien c'est gagné! )

Enfin, montrer que si n et m sont solutions alos m divise 2 et n divise 10; quelles sont les solutions possibles?en déduire \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} et \sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}


Voila merci encore et désolé pour l'abus! je bloque que sur l'histoire avec N+M\sqrt{3}....comme la suite en dépend..... Merci encore et encore...

Posté par
garnouillere : Arithmétique 01-11-06 à 18:38

développe (n+m3)3

Posté par MEMED (invité)re : Arithmétique 01-11-06 à 19:08

C'est bien ce que j'ai essayé de faire (j"aurais du l'écrire désolé)

j'ai trouvé:

(n+m\sqrt{3})^3=n^3+3n^2m\sqrt{3}+3n\times3m^2+(m\sqrt{3})
=n^3+3n^2m\sqrt{3}+9nm^2+3\sqrt{3}m^3

Mais après que faire.... help please

Posté par
garnouillere : Arithmétique 01-11-06 à 19:22

en supposant que tes calculs soient corrects, il suffit de poser :
N=n3+9nm²
M=3n²m+3m3
(ok pour les calculs, j'ai vérifié)

Posté par
garnouillere : Arithmétique 01-11-06 à 19:23

il suffit de vérifier que N=10 et M=6 pour m=1 et n=1....
... et c'est gagné!


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