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Arithmétique - Divisibilité dans Z
Bonjour !
J'ai un DM en Spe maths et je n'arrive pas à faire les questions que la prof nous a donné!
1) Trouver les entiers n pour lesquels la fraction (n+17)/(n+4) est entière.
2) Pour tout entier n, n
5, on pose : a=n3-n²-12n et b= 2n²+7n-4. Prouver que a et b sont divisible par (n-4).
3) Trouver tous les couples (x;y) de 
² tels que : x²-y²=35
J'aimerais que vous me donniez des tuyaux pour commencer à résoudre les problèmes.
Dans la 1e question, qu'est-ce qu'une fraction entière ?
Dans la 2e question, j'ai essayé de démontrer par récurrence mais je suis bloquée, je me retrouve avec :
(k+1)3-(k+1)²-12(k+1)=k'(k-4)+3k²+k-12
Avec k' qui est un entier quelconque.
Suis-je sur la bonne voie ?
Dans la 3e question, je n'ai aucune idée de la manière dont il faut procéder ! Pourquoi ² ?
S'il vous plait, aidez moi! Merci.
Bonjour,
Je ne sais pas si je peux t'aider pour tout l'exo mais j'essaie ... 
pour la premiere question :
tu dois trouver les valeurs de n pour lesquelles est un entier naturel, donc (n+4) divise (n+17)
(n+4) divise (n+17) et (n+4) divise (n+4) donc (n+4) divise la difference
alors (n+4) divise 13
tu continues ?
à ce soir
w@lid
Ah c'est bon! Mais est-ce qu'on peut faire aussi :
(n+4) divise (n+4-n-17)
pour trouver (n+4) divise -13 ?
c'est pareil vu que l'enseble de division de a et -a c'est le même
w@lid
Oui j'ai vu, j'ai trouvé : n= {-17;-5;-3;9}
Est-ce que tu pourrais m'aider pour les 2 autres questions ? Si t'as des petites pistes ?
Je vais voir si je peux te faire les deux autres
w@lid
Merci beaucoup. T'as pas besoin de les faire en entier, juste quelques pistes qui me permettraient de trouver par moi-même ! Si jamais j'ai le même genre d'exercices au contrôle, je pourrais peut-etre m'en sortir toute seule !
J'ai trouvé a = n(n-4)(n+3)
Pour b, je me suis trompée dans l'énoncé c'est : b=2n²-7n-4 ! Et je sais pas par quoi factoriser b, pas possible par 2 ni par n !
oui, donc (n-4) divise a
et pour le b tu trouves que :
donc pareil, (n-4) divise b
w@lid
Tu as trouvé la réponse de la question 3 ?
w@lid
Bah non. Y'a le ² qui me perturbe, je sais pas ce que ça signifie !
Sinon j'ai factorisé x²-y² = (x-y)(x+y) = 35
J'ai essayé 1 système mais c'est pas très concluant.
J'ai trouvé 1 couple évident (6;1) et un autre par calcul :
(x+y)(x-y)=35
On pose x=35-y
On remplace :
(35-y+y)(35-y-y)=35
Ce qui donne:
35(35-2y)=35
-2y= -1190
y=17 et donc x=18
Autre couple (18;17)
Qu'en penses-tu ?
C'est pas du tout un probleme le
Tu as l'equation : ... (*)
Tu remarques que si x et y sont des solutions -x et -y le sont aussi. donc
il suffit de chercher les solutions positifs seulement puis conclure les
autres.
(*) donne :
(x-y) et (x+y) divisent 35
et
sont forcement positifs et
Alors tu as les systemes :
x+y=35
x-y=1
x+y=7
x-y=5
voilà ! n'oublie surtout pas les solutions négatives à la fin hein 
w@lid
grrr ... encore une erreur de
C'est D35={1,5,7,35}
w@lid
C'est bon! J'ai retrouvé les couples que j'avait trouvé mais d'une manière " barbare " !
Est-tu prof ? ou fais-tu des études de maths sup ?
En tout cas, je te remercie beaucoup !!!!
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