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arithmetique : nb premiers entre eux + pgdc
Je séche sur l'exercice suivant :
Soit a et b, deux entiers naturels premiers entre eux.
1. Montrer que a+b et a.b sont premiers entre eux.
2. Développer et réduire (a+b)^2-3ab.
En déduire que a+b et a^2-ab+b^2 sont soit premiers entre eux, soit divisibles par 3.
3. Démontrer que PGCD(a+b;a^2-ab+b^2)=PGCD(a+b;3).
Je me sens nul, même pas l'ombre d'une piste, hélas !
Merci d'avance, bonsoir à tous.
salut,
par l'absurde,supposons d différent de 1 diviseur de a+b et ab
si d divise ab, alors d divise a ou d divise b.
on prend arbitrairement divise a.
d divise aussi a+b donc d divise a+b-a donc d divise b ce qui est absurde car a et b sont premier entre eux.
Bonsoir,
a et b sont premiers entre eux donc ils n'ont aucun diviseur commun different de 1. (*)
Donc soit d un diviseur de ab, d divise soit a soit b d'apres (*).Supposons qu'il divise a et ne divise pas b alors on en deduit qu'il ne divise pas a+b sinon il diviserait a+b-a=b et on a suppose le contraire. Donc les diviseurs de ab ne divisent pas a+b donc ab et a+b sont premiers entre eux.
La 2) c'est du calcul qu'as tu trouvé?
Bonsoir et merci pour le 1.
Pour le 2, développer et réduire: (a+b)^2-3ab=a^2-ab+b^2, ça ok, mais je patauge dans la semoule ensuite; sûr qu'il faut se servir du 1, à savoir que (a+b) et ab sont premiers entre eux. Peut-on dire que (a+b) et ab premier entre eux entraîne que leur PGCD = 1 et que ce PGCD reste à 1 si on considère le PGCD de (a+b) et d'une combinaison linéaire de (a+b) et ab, à savoir (a+b)^2-3ab ?
Si c'est vrai, c'est bon pour "premier entre eux", mais le coup du divisible par
3 ???
Tu suppose que a+b ne divise pas 3.
Tu prends un diviseur de a+b il divise (a+b)² mais pas (a+b)²-3ab sinon ca impliquerait qu'il divise 3ab or a+b et ab premiers entre eux donc c'est impossible car on a suppose en outre que a+b ne divisait pas 3.
Donc soit a+b et (a+b)²-3ab premiers entre eux soit a+b divise 3.
Ce que tu affirmes est faux prend par exemple a=1 et b=5 alors a+b=6 premier avec 5 mais pgcd(6,6²-3*5)=pgcd(6,21)=3.
excusez-moi j'ai pas fait d'arithmétique depuis longtemps mais j'ai un doute sur le début du raisonnement "si d divise ab alors il divise a ou b".
a=6 et b=35 a et b sont premiers entre eux mais 15 divise ab=210=15*14 et pourtant 15 ne divise ni a ni b.
Je vérifie si Bezout ne donne pas le résultat.
drazala
Je savais bien que j'étais rouillé sur l'arithmétique j'ai pas pensé à ca 
drazala
Oui c'est le theoreme de gauss si d est premier avec a et d divise ab alors d divise b.
De cela on deduit que si d est un nombre premier divisant ab alors il divise soit a soit b. En effet si divise a c'est ok. Si d ne divise pas a alors a et d sont premiers entre eux et donc d'apres Gauss, d divise b.
Mais de toute facon Gauss tu peux le montrer a partir de Bezout.
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