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Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:11

et ceci =(\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}f(l)\)_{k\in%20\mathbb{Z}}) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:12

oui

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:16

C'est parfait!
On va pouvoir passer à Parseval!

Voila la suite :
Exprimez, e=(e(k))_k étant un élément de l^2(\mathbb{Z}), en fonction de m_0 et de \hat{e} le spectre de la suite R^*[e].

Le spectre de la suite c'est la transformée de Fourier sur l^2(\mathbb{Z}) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:17

Citation :
On va pouvoir passer à Parseval!


ouais, mais pas maintenant, désolé !
il se fait un peu tard, non ?
Bref, bonne nuit !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:18

Oui!
Merci beaucoup kaiser, bonne nuit.
A demain surement!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:22

Je t'en prie !

Pour l'histoire du spectre, voir définition dans ton poly (bas de la page 63 et début de la 64)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 09:19

En fait, il faut regarder exactement à la page 63 pour la définition du spectre d'un élément de \Large{\mathcal{l}^2(\mathbb {C})}.
Entre parenthèses, cette définition a l'air un peu bizarre.
En effet, on pourrait se dire pourquoi pas dire que le spectre c'est la somme infinie.
Le problème de la convergence de la série se pose : çe ne converge pas forcément presque partout, car la suite n'est pas sommable, mais uniquement de carré sommable.
par contre, ça converge au sens de la norme 2, c'est pourquoi lorsque tu résoudras cette question, tu seras obligé de prendre une somme finie, pour k variant entre -N et N, car la somme infinie n'aura de sens que dans le sens \Large{\mathcal{l}^2(\mathbb {C})} et non pas "point par point".

Bref, tu regardes ça, tu auras alors à intervertir deux somme sont l'une est finie (donc aucun théorème à utiliser, pour l'instant).
par contre, en suite tu bidouilles un peu pour faire apparaitre sous la somme quelque chose qui va ressembler à m0. Après ça va être une interversion de limite.
Bref, en clair, le but est de montrer que la suite \Large{\(\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}\)} converge dans \Large{\mathcal{l}^2(\mathbb {C})} vers quelque chose qui sera exprimé en fonction du spectre de m0 et du spectre de e, et par unicité de la limite, le spectre de R*(e) sera aussi égal à ce quelque chose (car la suite converge également au sens de la norme 2 vers le spectre de R*(e)).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 11:14

Bonjour!
Alors j'ai :
R^*[e] = (\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}e(k)\)_{l\in%20\mathbb{Z}}

C'est un élément de l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) ?
Il faut vérifier que \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}} |\bar{h(l-2k)} e(k)|^2<+\infty

Je trouve que \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}} |\bar{h(l-2k)} e(k)|^2\le ||\bar{h}||_1^2||e||^2_2 :
-je ne sais pas si c'est correct
-je ne suis pas convaincu que ||\bar{h}||_1^2<+\infty

Ensuite je reviens à la définition :
Le spectre d'un élément de (R^*[e])_k\in l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) est l'élément \hat{s} de L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T}) (qu'est-que la définition de \mathbb{T} ?) vérifiant :
\lim_{N\to +\infty} \frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}|\hat{s}(w)-(\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}\)|^2dw =0

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 11:17

Il faut regarder l'adjoint comme une suite de l ou de k ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 11:21

Que vient faire Parseval ?
Il trouve au final \hat{R^*[e]}=m_0\times \hat{e}(2(.)) (il y a un point au dessus de m_0)

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 11:57

(une petite question en diagonale kaiser :
pourquoi sup_n\sqrt{\Bigsum_{n\in\mathbb{Z}}|s(n-k)|^2}=||s||_2 ?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 15:02

Citation :
R^*[e]%20=%20(\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}e(k)\)_{l\in%20\mathbb{Z}}
C'est un élément de l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) ?


oui. Comme R va de l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) dans l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}), alors par définition de l'adjoint, R* va de l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) dans l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}).
Bref, ce n'est pas la peine de faire ce que tu fais après.

Citation :
-je ne suis pas convaincu que ||\bar{h}||_1^2%3C+\infty


C'est comme pour tout ce qui concerne h : c'est une somme finie, car les termes non nuls de h sont en nombre fini.

Citation :
(qu'est-que la définition de \mathbb{T}?)


C'est le cercle unité.
Plus précisément, L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T}) est l'ensemble des fonctions de carré intégrable sur le cercle unité (muni de la mesure de Lebesgue "normalisée", c'est-à-dire divisée par \Large{2\pi}, de manière à ce que, pour cette mesure, la mesure du cercle soit égale à 1)., c'est-à-dire telles que :

\Large{\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^2d\theta < +\infty}
On voit ainsi que l'on peut mettre un produit scalaire, qui fait de cet espace un Hilbert.

Citation :
Il faut regarder l'adjoint comme une suite de l ou de k ?


Comme dit plus haut, vu comme que tu l'as écrit, on le voit comme une suite indicée par l (car k est déjà pris comme une variable de sommation).

message de 11h21 : je regarde ça
message de 11h57 : encore fois, fais attention, tu ne peux pas prendre le sup sur n d'une somme indicée par n (c'est plutôt le sup sur k, alors).

D'autre part, sans le sup, l'égalité est vraie (il suffit de faire un changement de variable, ou alors tu utilises l'invariance par translation de la mesure de dénombrement sur \Large{\mathbb{Z}}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 15:36

Sinon, pour la définition de \Large{L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T})}, dis toit qu c'est simplement l'ensemble des classes fonctions \Large{2\pi}-périodiques de carré intégrable sur \Large{[0,2\pi]} (l'explication de mon message précédent c'était pour faire le lien avec le cercle, car une fonction \Large{2\pi}-périodique peut toujours se voir comme une fonction sur le cercle)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 20:11

Citation :
Bref, ce n'est pas la peine de faire ce que tu fais après.

Ok.
Mais cela dit, le résultat est-il le bon ? La majoration je veux dire.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 20:53

Comment écrire de manière ensembliste \Large{L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T})} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:31

Citation :
Mais cela dit, le résultat est-il le bon ? La majoration je veux dire.


elle me parait correcte (fais attention quand tu écris ta somme, car comme tu as mis seulement 3 barres de valeur absolue, et pas 4, on a du mal à savoir ce qui est au carré).

Citation :
Comment écrire de manière ensembliste \Large{L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T})} ?


Voir page 14 de ton poly : c'est l'ensemble des classes de fonctions définies sur \Large{\mathbb{R}} à valeurs complexes et \Large{2\pi}-périodiques.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:38

Alors c'est : \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}%20|\bar{h(l-2k)}%20e(k)||^2%3C+\infty

Alors L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T})=\{f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\, f\, mesurable \,, f\, 2\pi \, periodique \, \Bigint_{[0,2\pi]} |f(t)|^2 dt\}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:43

oui. Par contre, pour ton ensemble : 1) ce sont des classes de fonctions, 2) tu as oublié de dire que l'intégrale doit être finie (ce que tu voulais probablement écrire)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:48

Ok.
Que faut il faire ensuite ?
Calculer \lim_{N\to%20+\infty}%20\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}|\hat{s}(w)-(\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}\)|^2dw ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:51

\mathbb{T} = \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:55

Non, ça, on sait déjà d'après le cours (définition de la transformée de Fourier dans \Large{l^{2}_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z})}).

Pour commencer, on va faire les calculs formellement sans justifier pour voir si on tombe bien sur la réponse demandée.
Ensuite, on justifiera les diverses manipulations que l'on aura fait.

Bref, essaie d'expliciter la somme de -N à N qui apparait dans ton message précédent.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 21:56

message de 21h51 : oui (c'est ce que l'on appelle le tore de dimension 1, ou alors pour faire plus simple, c'est le cercle unité)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:01

Je calcule donc :

\Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}

?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:02

Déjà on peut directement écrire \Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}=\Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w}e(l)e^{-i2lw} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:04

oui

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:06

toutafé !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:09

Fubini directement, ça marche ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:10

la somme de -N à N est finie, donc il n'y pas de théorème là dessus : tu peux donc intervertir les deux sommes sans te poser de question.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:17

Pour une somme finie, on peut toujours intervertir ?
Donc :
\Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{k=-N}^{N}\bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w}e(l)e^{-i2lw}

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:19

Et j'obtiens :\Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N}^{N}\bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:23

Citation :
Pour une somme finie, on peut toujours intervertir ?


eh bien oui.
Il suffit de le voir pour 2.
Plus précisément, si par exemple tu as deux séries de termes généraux \Large{u_n} et \Large{v_n} qui sont convergentes, tu sais que la série de terme général \Large{u_n+v_n} est convergente et que \Large{\Bigsum_{n=0}^{+\infty}(u_n+v_n)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}u_n+\Bigsum_{n=0}^{+\infty}v_n}

Ici, c'est la même chose que l'on fait, mais avec plus de 2 (mais toujours un nombre fini).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:26

Ce sont les \bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w} qui jouent le rôle de u_n, v_n de ton dernier message ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:27

message de 22h19 :
OK.
Maintenant, on va faire un truc pas bien du tout : on va faire tendre N vers l'infini pour voir ce que ça donne

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:28

message de 22h26 : en fait, ça joue le rôle de tout ce qu'il y a sous la somme

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:29

Je calcule donc \lim_{N\to +\infty} \Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}= \lim_{N\to +\infty} \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N}^{N}\bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w} ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:31

J'ai pas saisi ce que tu sous-entends dans ton dernier message.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:33

Encore une fois, on va faire ça formellement donc sans justifier, du moins dans une première partie.

Du coup, on va écrire sans justifier que ça vaut :

\Large\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k\in \mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w


là, tu dois reconnaitre des choses.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:35

\Large{(u_n), ça va jouer, pour k fixé le rôle de l'un des suites \large{(\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw})_l}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:35

On a presque m_0(w)=\Bigsum_{k=0}^Mh(k)e^{ikw} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:39

oui. IL faut déjà faire un changement de variable (pour se débarrasser du k-2l)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:43

22:35 :
Il faut donc voir que \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e^{-ikw} <\infty ?
On regarde \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\bar{h(k-2l)}e^{-ikw}|=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\bar{h(k-2l)}| < + \infty (c'est une somme finie)

Donc pour chaque k fixé, la série de terme général \bar{h(k-2l)}e^{-ikw} est convergente d'où :
\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{k=-N}^N\bar{h(k-2l)}e^{-ikw}=\Bigsum_{k=-N}^N\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e^{-ikw}

22:39 :
On pose u=k-2l et lorsque k parcourt \mathbb{Z}, u aussi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:47

pour le premier point : OK (sauf, au début, quand tu dis qu'une somme de complexes est inférieure à l'infini, c'est moyen : dis plutôt que la série converge)

pour le deuxième point : oui

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:47

Ceci est-il correct :

On prend une somme indicé par k finie : \Bigsum_{k}u_k
Si pour k fixé, \Bigsum_{n=0}^{+\infty}u_k<+\infty alors on a
\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\Bigsum_{k}u_k=\Bigsum_{k}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}u_k.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:48

oui mais à ce moment là, il faut mettre deux indices (par exemple : \Large{u_{n,k}} )

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:49

Donc on écris toujours sans justification \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{u\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(u)}e^{-iuw}

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:49

22:48 : OK, j'ai compris.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:52

pour l'instant oui (remarque par exemple que la première somme n'a pas forcément de sens ponctuellement, car e est seulement supposées de carré sommable et pas sommable tout court).
Sinon, que reconnais-tu ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 22:56

Citation :
remarque par exemple que la première somme n'a pas forcément de sens ponctuellement

J'ai pas compris!

Sinon,
on a m(u)=\Bigsum_{u=0}^Mh(u)e^{-iuw} qui ressemble fortement à \Bigsum_{u\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(u)}e^{-iuw}.

On passe de l'un à l'autre par une limite ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:01

Citation :
J'ai pas compris!


ce que je veux dire c'est que si tu considère la première somme (celle sur l) comme une série de fonction, alors cette série de fonction ne converge pas forcément simplement.

Citation :
On passe de l'un à l'autre par une limite ?


déjà, cette somme est finie.
Sinon, tu passes de l'un à l'autre, en prenant le conjugué, entre autre.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:05

Citation :
ce que je veux dire c'est que si tu considère la première somme (celle sur l) comme une série de fonction, alors cette série de fonction ne converge pas forcément simplement.

Ok.

Sinon, on a d'un coté une somme indicé par u qui parcout [0,M] et de l'autre u parcourt \mathbb{Z} !

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