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axe de la composée r o s o r-1 en dimension 2
J'ai une question très simple : je ne sais pas de quel niveau elle relève.
Je souhaite prouver (proprement) que la composée r o s o r-1 où r est une rotation vectorielle et s une réflexion, en dimension 2, est une réflexion d'axe r(axe de s). J'imagine que ça doit même pouvoir se faire niveau lycée.
Si on pose f = r o s o r-1,
f est une symétrie axiale dont l'ensemble des invariants est l'ensemble des x tels que r o s o r-1 (x) = x
Pour un tel x, on a : r-1(x) = s o r-1(x)
donc r-1(x) est un invariant de s donc il appartient à l'axe de réflexion de s ... d'où x appartient à r(axe de s)
... Peut-être cette preuve suffit-elle ?
Bonjour charmuzelle.
Oui, c'est bon! (aux notations près).
La dernière équivalence se conclut pour moi par: x appartient à l'image par r de l'axe de s.
Ainsi, la composée en question est la réflexion vectorielle d'axe cette droite vectorielle.
Par contre, ce n'est pas du tout niveau Lycée, ça doit bien faire 15 ans qu'on n'étudie plus les applications vectorielles associées au Lycée! 
Bonjour milton,
certes, encore faut-il savoir que les seules involutions vectorielles de R² en sont les symétries.
... Eh bien, j'ai prouvé que tout invariant de f appartenait à l'image par r de l'axe de s, ce qui ne prouve pas que l'ensemble des invariants soit l'image de l'axe de s (ce pourrait être l'origine...) C'est pourquoi ma démo ne me satisfait pas tout à fait. Il faut que je montre que tout élément de l'image par r de l'axe de s est invariant par f :
Pour tout y de l'image de l'axe de r par f, il existe x appartenant à l'axe de r tel que r(x) = y.
f(y) = r o s o r-1 (y)= r o s (x) = r(x) = y
Bon, ça va mieux comme ça. Je ne sais pas pourquoi je me prends toujours la tête sur des trucs qui sont évidents pour les autres... Certainement parce que je maîtrise mal le sujet.
Mais je ne comprends pas pourquoi Milton veut que je prouve que f o f = Id Normal que f o f = Id puisque f est une réflexion.
Je me disais qu'on pourrait transposer cet exercice niveau terminale, genre avec les complexes, pour montrer que la composée r o s o r-1 où r est une rotation de centre O (origine du repère) et s une réflexion donnée était la réflexion d'axe r(axe de s) . Il paraît qu'ils demandent ce genre de choses à l'oral de l'agreg interne.
Alors j'ai une autre question, Tigweg : à quel niveau s'adressent ces exercices ? Est-ce que ça relève du programme de math spé mpsi ?
En tout cas merci beaucoup pour vos réponses.
milton -> On ne l'enseigne pas puisqu'on ne parle pas d'application vectorielle associée, justement!
charmuzelle->
... Eh bien, j'ai prouvé que tout invariant de f appartenait à l'image par r de l'axe de s, ce qui ne prouve pas que l'ensemble des invariants soit l'image de l'axe de s
-> Mais si, tu l'avais déjà prouvé, car ton premier post est en fait une chaîne d'équivalences: x est invariant par f si et seulement si...etc...
Mais je ne comprends pas pourquoi Milton veut que je prouve que f o f = Id Normal que f o f = Id puisque f est une réflexion.
->Oui, tu as raison, je pense qu'il (ou elle) te proposait juste une manière alternative de prouver qu'il s'agossait d'une réflexion.
La tienne (avec le déterminant, je présume?) est très bien aussi!
Quant au niveau de ces exercices, je dirais Sup-Spé en effet, mais je ne sais plus ce qui est au programme de chacune de ces classes.Je dirais Spé a priori.
Ton idée d'adapter l'exercice au niveau Terminale avec des complexes me paraît très judicieuse en effet!
Merci Tigweg ! Je ne me suis même pas embêtée avec le déterminant : j'ai admis que la composée de deux isométries directes et d'une indirecte était une isométrie indirecte, puisque la composée de 2 isométries est une isométrie, que si la première conserve les angles orienté, la seconde les inverse et la troisième les conserve, la composée des trois les inverse...
Ah là là, entre ce qu'il faut admettre et ce qu'il faut démontrer.
Merci pour tout encore une fois : je crois que tu m'avais bien aidée d'jà l'été dernier
Avec plaisir charmuzelle!
Tu passes l'Agreg Interne, c'est ça?
Marrant ton petit bêtisier d'élèves, au fait, j'avais oublié de te le dire!
La notion d'angle nécessite une structure supplémentaire dans ton espace: celle de produit scalaire.
Il vaut donc mieux raisonner avec le déterminant, qui a de plus l'avantage de se généraliser sans problème à des espaces de toute dimension, ce qui n'est pas le cas de la notion d'angle (en tout cas c'est -très- difficile!).
En dimension 2, la propriété que tu utilises sur les angles orientés équivaut au fait qu'une isométrie directe est de déterminant 1, et qu'une isométrie indirecte est de déterminant -1.
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