Bonjour à tous

J'ai plusieurs problèmes pour faire cet exercice de ce DM type bac
Pourriez vous me donner quelques pistes car je suis bloquée.

Voici l'énoncé complet de l'exercice:

L'objet de ce problème est d'étudier, à l'aide d'une fonction auxiliaire, une fonction et de résoudre une équation différentielle dont elle est solution.

Partie A

Etude d'une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction définie sur  par : g(x)=((e^x)/(1+2e^x))-ln(1+2e^x).

1°) Calculer g'(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de

2°) Déterminer les limites de g en - et en + .
( je n'arrive pas à calculer la limite en - )

3°) Dresser le tableau de variation de g.

4°) Donner le signe de g(x).

Partie B

Etude de la fonction principale.

Soit f la fonction définie sur  par : f(x)= e^(-2x)*ln(1+2e^x)

On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).

1°) Calculer f'(x) et montrer que, pour tout réel x, f'(x) = 2e^(-2x)*g(x).

2°) a) Déterminer la limite de f en -
( je n'arrive pas à calculer la limite en - )

b) Déterminer la limite de f en + .

On pourra remarquer que si on pose X = 1 + 2e^x, f(x) s'écrit 4*(X/(X-1)²)*(lnX/X)

3°) Dresser le tableau de variation de f.

4°) Tracer (C).

Partie C

Résolution d'une équation différentielle.

On considère l'équation différentielle : (E) : y' + 2y = 2.

1°) Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie B est solution de (E).

2°) Montrer qu'une fonction est solution de (E) si, et seulement si, - f est solution de l'équation différentielle : (E') : y' + 2y = 0.

3°) Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E).

Merci d'avance