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Barycentre et produit scalaire

Posté par Robert36 (invité) 09-04-05 à 17:16

Bonjour, j'ai un petit probleme sur un execrire de maths, vous pourriez m'aider svp ??


Soient A et B deux points du plan tels que AB = 3.
1. Déterminer les barycentres I de (A,1) et (B,2) et J de (A,1) et (B,-2).
2.a. Démontrer que [vect(MA)-2vect(MB)].[vect(MA)+2vect(MB)] = 0 équivaut à MA = 2MB.
2.b. En déduire l'ensemble E1 des points M du plan tels que MA = 2 MB
3. Déterminer l'ensemble E2 des points M du plan tels que vect(MA).vect(MB) = 16. On pensera à utiliser le milieu K de [AB].
4. Déduire des questions précédentes la construction d'un triangle ABC tels que :

CA = 2CB et vect(CA).vect(CB) = 16
Calculer alors les longueurs CB et CA


Merci d'avance !

Posté par
Victorre : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 17:19

où se situe ton petit problème ?

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 17:29

Bon la 1 c'est facile ca va, mais à partir de la 2, je bloque

Posté par
Victorre : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 17:35

En développant, on obtient :
(\vec{MA}+2\vec{MB})(\vec{MA}-2\vec{MB})=MA²-4MB²

Ensuite, tu peux utiliser le fait que :
\vec{MA}+2\vec{MB}=3\vec{MI}
et
\vec{MA}-2\vec{MB}=-\vec{MJ}

Je te laisse réfléchir à la suite...

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 17:46

Pourquoi as-tu des points d'interrogations entre crochet ??

Posté par
Victorre : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 17:58

Je corrige cette petite erreur de latex :

En développant, on obtient :
(\vec{MA}+2\vec{MB})(\vec{MA}-2\vec{MB})=MA^2-4MB^2

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 19:10

Ah oui, la 2.4. est en fait facile, il suffit de finir avec une identité remarquable.
Mais je ne comprends pas la question 2.b.

Posté par
Victorre : Barycentre et produit scalaire 09-04-05 à 19:17

MA=2MB ssi 3\vec{MI}.-\vec{MJ}=0
ssi \vec{MI}.\vec{MJ}=0
ssi M appartient au cercle de diamètre [IJ].

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 11:20

Tu fais disparaitre les vecteurs comme ca toi ??
(\vec{MA}+2\vec{MB})(\vec{MA}-2\vec{MB})=MA^2-4MB^2

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 12:10

Salut Robert36 .
Victor ne fait pas disparaitre les vecteurs comme tu dis , il a juste utilisé une identité remarquable :
\(\vec{u}+\vec{v}\)\cdot\(\vec{u}-\vec{v}\)=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}

Ensuite nous savons que :
\vec{u}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=||u||^{2}
donc ici :
\vec{MA}^{2}-4\vec{MB}^{2}=||\vec{MA}||^{2}-4||\vec{MB}||^{2}=MA^{2}-4MB^{2}


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 12:31

ah ok merci j'ai compris, je suppose que pour la 2.b. il faut reprendre le resultat de la 2.a. mais je vois pas la :'(

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 12:35

Re

En effet , pour le 2b on utilise ce qu'on vient de démontrer en 2a :

MA=2MB\Longleftrightarrow \(\vec{MA}-2\vec{MB}\)\cdot\(\vec{MA}+2\vec{MB}\)=0

Pour simplifier cette derniére expression avec les vecteurs , introduit le point I de la premiére question .

Là je dois aller manger si tu as du mal j'essayerais de t'aider à mon retour


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 12:57

Oui, je vois ce que tu veu dire, mais je vois pas trop la
ca ferait M barycentre de (a,1) et (b,-2) et M barycentre de (a,1) et (b,2) mais aprés...

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 14:22

non ...

On introduit I le barycentre de (A,1) et (B,2) ainsi que J barycentre de (A,1) et (B,-2) .

On peut écrire :
\begin{tabular}\(\vec{MA}-2\vec{MB}\)\cdot\(\vec{MA}+2\vec{MB}\)&=&\(\vec{MJ}+\vec{JA}-2\vec{MJ}-2\vec{JB}\)\cdot\(\vec{MI}+\vec{IA}+2\vec{MI}+2\vec{IB}\)\\&=&-\vec{MJ}\cdot(3\vec{MI})\\&=&-3\vec{MJ}\cdot\vec{MI}\end{tabular}

On est donc amené à chercher les points M tels que :
-3\vec{MJ}\cdot\vec{MI}=0
ie tels que :
\vec{MJ}\cdot\vec{MI}=0

Donc M décrit le cercle de diamétre [IJ]


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 14:39

A ouais, effectivement, c'est pas mal ca
La question 3 est indépendante des autrres questions ?
J'ai du mal a voir la rapport...

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 14:45

Je ne sais pas , à toi de voir si tu vois un lien avec les autres une fois que tu auras développer le calcul . As-tu introduit le point K comme on te l'indique ?


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 14:54

Je ne vois pas ou je pourrais l'introduire

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 14:56

Bah tu peux dire que :
\vec{MA}\cdot\vec{MB}=\(\vec{MK}+\vec{KA}\)\cdot\(\vec{MK}+\vec{KB}\)
et tu développes etc..


jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:10

Oui ma sc'est quoi la formule qui définit la milieu d'un segment, c'est quoi le qui définit le point K ??

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:11

Re

si K est le milieu de [AB] alors \vec{AK}=\vec{KB}


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:15

Ouais bah la je vois pas trop... Je crois que je vais m'arréter la...

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:26

Mais n'as-tu pas essayé de développer comme je te l'ai proposé ? Ne baisse pas les bras , ce n'est pas dur !

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:34

Si mais je retombe à chaque fois sur l'expression du début

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:40

Bon allé je t'aide un peu :

\(\vec{MK}+\vec{KA}\)\cdot\(\vec{MK}+\vec{KB}\)=MK^{2}+\vec{MK}\cdot\(\vec{KA}+\vec{KB}\)+\vec{KA}\cdot\vec{KB}
or , comme K est le milieu de [AB] :
\vec{KA}+\vec{KB}=\vec{0}
donc
\vec{MK}\cdot\(\vec{KA}+\vec{KB}\)=0
de plus :
cos\(\vec{KA},\vec{KB}\)=-1
il s'ensuit :
\vec{KA}\cdot\vec{KB}=-||\vec{KA}||||\vec{KB}||
soit
\vec{KA}\cdot\vec{KB}=-\frac{1}{4}AB^{2}

On en déduit :
\(\vec{MK}+\vec{KA}\)\cdot\(\vec{MK}+\vec{KB}\)=MK^{2}-\frac{1}{4}AB^{2}

On est donc amené à chercher les points M tels que :
MK^{2}-\frac{1}{4}AB^{2}=16

Je te laisse continuer


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 15:47

Bon ok, la ya l'identitée remarquable donc c'est bon !
Mais je me demande comment faire la 4 :'( :p

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 16:07

Eh bien tu devras placer C tels qu'il appartienne à l'intersection des deux ensembles de points que tu auras trouver dans les questions précédentes


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 16:24

Pour la question 2.a. Ya un truc que j'ai pas compris, on arrive à MA²-4MB²=0 si on fais l'identité remarqueble ya deux solutions non ?
MA=2MB et MA=-2MB on fait comment ??

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 16:50

La question 3, j'arrive à (MK-1/2AB)(MK+1/2AB)=16 mais aprés je bloque
Et pour la 4 j'ai rien compris :'(

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 16:55

N'as-tu pas suivi ce que j'ai fais ?

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 16:56

Ah sisi, j'ai tout compris a ce que tu as fait mais apres je trime...

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 16:58

Pour le 3) , pourquoi utilises tu une identité remarquable ?

On a :
MK^{2}-\frac{1}{4}AB^{2}=16
donc :
MK^{2}=16+\frac{1}{4}AB^{2}

Or AB=3 donc :
MK^{2}=16+\frac{9}{4}
ie
MK^{2}=\frac{73}{4}
donc
MK=\frac{\sqrt{73}}{2}

M décrit ainsi le cercle de centre K et de diamétre \frac{\sqrt{73}}{2}


Jord

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:01

Euh , c'est de rayon \frac{\sqrt{73}}{2} dsl .

Pour le 4.

D'aprés 2b et 3. , C devrait appartenir au cercle C de diamétre [IJ] et au cercle C' de centre K et de rayon \frac{\sqrt{73}}{2} .
C'est à dire qu'il appartient à l'intersection de ces deux cercles


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:02

Ah oui, j'avais oublié que Ab était égal à 3...
Et pour la 2.a. on conclu comment ??

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:03

Je t'ai déja fait le 2a dans un des posts se terminant par "M décrit le cercle de diamétre [IJ]"


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:12

Non, ya pas la fin...

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:13

Bah si , on te demande d'en déduire l'ensemble des points M vérifiant la relation et j'en ai déduit que cet ensemble était le cercle de diamétre [IJ]


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:16

Mais les deux cercles ont deux intersections !

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:17

Non, la 2.4 C'est démontrer que [vect(MA)-2vect(MB)].[vect(MA)+2vect(MB)] = 0 équivaut à MA = 2MB

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:31

Bon c'est pas grave, j'y ai passé tout le week end, je jette l'eponge

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:33

Victor t'en a déja fait une partie !

On trouve que :
\(\vec{MA}-2\vec{MB}\)\(\vec{MA}+2\vec{MB}\)=0
<=>
MA^{2}-4MB^{2}=0
<=>
MA^{2}=4MB^{2}
<=>
MA=2MB


Jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:38

A oui, ok, c'est tout simple en fait
Et pour la quatre, ya deux points d'intersection entre les cercles, on fait comment ?

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:40

On te parle d'un triangle et non du triangle donc il est normal qu'il y ait plusieurs ( en l'occurence 2) solutions


jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:42

Je te remerci pour ta passiance et ta perceverance.
Merci

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:44

De rien

Je suis heureux que tu aies compris


jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:45

pour le calcul des longueurs, c'est dur ??

Posté par
Nightmarere : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:47

Bah non , utilises pareillement les conclusions des autres questions


jord

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 17:56

Ouais bah je vois toujours pas...

Posté par Robert36 (invité)re : Barycentre et produit scalaire 10-04-05 à 18:06

Enfin bon c'est pas grave c'est gentil de m'avoir aidé !


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