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Bernouilli arc paramétré
Bonjour, je cherche à trouver une équation carthésienne des Points M tels que
avec F(c,0) et F'(-c,0) et M(x,y)
Voila comment je procède
Je calcule la norme du vecteur MF, je trouve
Je calcule la norme du vecteur MF, je trouve
Après j'ai
Je pensais élever le tout au carré.
Est-ce bon?
Merci pour votre aide
Non en fait je n'ai pas encore élevé au carré. En fait je voulais savoir si mes racines étaient bonnes.
Apres il me suffit d'élever au carré et le tour est joué
Une équation cartésienne connue de la lemniscate de Bernoulli (avec un seul i) est la suivante :
(x² + y²)² = a²(x² - y²).
Peut-être les axes de référence ne sont pas les mêmes ....Vérifie bien ton calcul.
M(x,y)
MF² = (x-c)²+y²
MF'² = (x+c)²+y²
MF² * MF'² = c^4
((x-c)²+y²) * ((x+c)²+y²) = c^4
(x-c)²(x+c)² + y²((x+c)²+(x-c)²) + y^4 = c^4
(x²-c²)² + 2y².(x²+c²) + y^4 = c^4
Et en posant y² = Y (Y >= 0)
Y² + 2Y(x²+c²) + (x²-c²)²-c^4 = 0
Y = -(x²+c²) +/- V((x²+c²)² - (x²-c²) + c^4)
Y = -(x²+c²) +/- V((x^4+c^4+2c²x² - (x^4+c^4-2c²x²) + c^4)
Y = -(x²+c²) +/- V(4c²x² + c^4)
et comme Y > 0 ---> Y = -(x²+c²) + V(4c²x² + c^4) (Avec c > 0)
---
y² = -(x²+c²) + V(4c²x² + c^4)
$y = \pm \sqrt{\sqrt{4c^2x^2+c^2}-(x^2-c^2)}
Cette une lemniscate de Bernoulli.
L'équation trouvée colle avec celle donnée par ce lien :
M(x,y)
MF² = (x-c)²+y²
MF'² = (x+c)²+y²
MF² * MF'² = c^4
((x-c)²+y²) * ((x+c)²+y²) = c^4
(x-c)²(x+c)² + y²((x+c)²+(x-c)²) + y^4 = c^4
(x²-c²)² + 2y².(x²+c²) + y^4 = c^4
Et en posant y² = Y (Y >= 0)
Y² + 2Y(x²+c²) + (x²-c²)²-c^4 = 0
Y = -(x²+c²) +/- V((x²+c²)² - (x²-c²) + c^4)
Y = -(x²+c²) +/- V((x^4+c^4+2c²x² - (x^4+c^4-2c²x²) + c^4)
Y = -(x²+c²) +/- V(4c²x² + c^4)
et comme Y > 0 ---> Y = -(x²+c²) + V(4c²x² + c^4) (Avec c > 0)
---
y² = -(x²+c²) + V(4c²x² + c^4)
C'est une lemniscate de Bernoulli dont l'équation colle avec celle donnée par ce lien : 
Sauf distraction. 
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