Bonjour,

tu dois montrer qu'elle est injective et surjective pour avoir une bijection

tu peux regarder sur les fiches de maths pour mieux comprendre le cours, en tapant bijection puis en cliquant sur fiches de maths sur le site dans la partie "rechercher" à gauche de l'écran

Bonjour

Faut pas rêver... si on savait prouver généralement qu'une fonction est bijective, les maths seraienbt beaucoup moins intéressantes!

Alors dans ton cas: est une fonction de P(E) à valeurs dans F(E,{0,1})) ensemble de fonctions de E dans {0,1}. Alors soit f une fonction de E da,s {0,1}. Soit . Cette est bien une application de F(E;{0,1}) dans P(E). Calcule si f est dans F(E;{0,1}) et si A est dans P(E).

Salut

T'as oublié un truc important, j'pense d'ailleurs qu'il y a confusion là. Ne pas confondre la fonction Ksi qui est application de P(E) dans {0,1}^E (autrement dit, une application qui a un ensemble associe sa fonction indicatrice) et Ksi_A qui est la fonction indicatrice de A (fonction qui va de E dans {0,1} qui a x€E associe 1 si x€A et 0 sinon). Il y a une différence et elle est de taille! Paske Ksi est bien bijective, mais Ksi_A l'est très rarement...

Sinon:

Ya deux méthodes en général pour prouver qu'une application est bijective (du moins, quand on ne se contente pas dire "c'est évident que c'est bijectif" oeuf course ).

1ère méthode: on prouve que l'application est injective et surjective. (en général, quand on a pas grand chose sur f et qu'on a pas envie de passer du temps à essayer la 2ème méthode)
2ème méthode: on exhibe directement  une application réciproque. (facile quand on a une "formule" pour f)

Ici, les deux sont possibles; aucune n'est vraiment privilégié par rapport à l'autre.

1ère méthode:
Ksi est injective. Ben oui, soit A1 et A2 tel que Ksi(A1)=Ksi(A2). Cela signifie en particulier que Ksi_A1 (x) =1 <==> Ksi_A2(x)=1. Autrement dit, pour tout x€E on a x€A1 <==>x€A2 ce qui est la même chose que dire que A1=A2.
Ksi est surjective. Soit f une application de E dans {0,1}. Posons A=f^-1({1}) (A est l'image réciproque de {1}). Je te laisse vérifier que Ksi_A = f...

2ème méthode: à toi!

Salut Ayoub! (je pourrais continuer ta liste de méthodes de montrer qu'une application est bijective, mais c'est un bon début!)

Salut Camélia.

Au temps pour moi, j'aurai dû dire "au moins deux" parce qu'effectivement si yavait que ça, on serait mal...

Et bien je dirais que Ksi_A = f(f-1({1})) c'est a dire Ksi A=1 !!

En fait le truc c'est que je saisi pas comment ( en faisant référence a la définition de la bijection ) une fonction prenant la valeur 0 ou 1 puisse être bijective !! Surjective ok je le visualise mais injective pas du tout !!

Relis le premier paragraphe de mon premier message. Ya effectivement une confusion.

Ce n'est pas la fonction qui prend la valeur 0 ou 1 qui est bijective! Relis mon post et celui de 1 Schumi 1

est qu'il faut comprendre un truc du style Ksi: p(e){0,1}

Et on cherche en fait pour en revenir a votre deuxième méthode la fonction f qui permet cette application est cela?

Et c'est f qui est bijective ?? et est que c'est normal que je n'arrive pas a visualisé la tête de de f dans mon cerveau ??

Non! Ksi n'est pas une fonction de P(E) dans {0,1}! C'est une fonction de P(E) dans {0,1}^E. L'image de A€P(E) par Ksi n'est pas un nombre, c'est une fonction!

OKKKKK je comprend pas trop le ^E il est dans mon cour aussi mais sans aucune explication !! Il est en fait la pour montrer qu'on traduit Ksi de A par une fonction c'est a dire f(x)1 si x appartient a A sinon zero !!
Est c'est cette fonction qui est bijective ???

Je crois que ma note au prochain DS sera égal a Ksi_A (x) avec x appartenant a tout sauf a A !!

Oui voilà c'est ça. Pour info, mais tu devrais l'avoir dans ton cours, c'est l'un des premiers trucs qu'on apprend en prépa ça, si E et F sont deux ensembles E^F désigne l'ensemble des applications de F dans E.
Donc ça change tout, mais alors vraiment tout de mettre ou non le "^E"!

Ok ba merci bien !! donc c'est bon j'ai trouvé la deuxième méthode !!
1er cas: {xA/Ksi_A=1} f(x)=1
donc si xA alors x=f^-1{1}
d'ou A=f^-1{1}

Meme principe pour le cas ou Ksi=0

et d'ailleur je n'arrive tjrs pas a visualiser la tronche le de la fonction f(x) qui est bijective