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Binôme de Newton appliqué

Posté par
CEO 24-12-11 à 18:43

Salut à tous et d'abord joyeuses fêtes!

Je cale sur un exercices concernant le binôme de Newton que je n'arrive pas à résoudre...

Je sais que (a+b)m = de k allant de 0 à m (m k) am-k* bk mais je ne parviens pas à résoudre l'exercice :

3n de k allant de 0 à n (nk) (-2/3)k

Pourriez-vous me donner quelques pistes ?

Merci d'avance et encore de joyeuses fêtes!

Posté par
numero10re : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 18:46

Salut,

(1)^m-k ça vaut quoi?

Posté par
CEOre : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 18:49

euh?

Posté par
numero10re : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 18:55

Ben si tu sais que 1^(m-k)=1 quelques soient m et k dans N.

Tu peux écrire que ta somme est égale à la somme de:
\\ 3^n\sum_{k=0}^m\begin{pmatrix}m\\k\end{pmatrix}(1)^{m-k}(-\frac{2}{3})^k


Ou je loupe quelque chose?

Posté par
CEOre : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 19:03

3^n \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} (\frac{2}{3})^k

J'exposais m et k selon mon modèle théorique que je connais et qui n'a donc rien à avoir avec le calcul, désolé de la confusion...

Posté par
CEOre : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 19:04

NB: -2/3

Posté par
numero10re : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 19:07

euh?

Posté par
numero10re : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 19:10

Je dois partir, mais en fait qu'il y ait un m ou un n ça ne change rien. Si le problème n'est pas là, je verrais tard dans la soirée ou quelqu'un te répondra entre temps.

Posté par
CEOre : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 19:23

Ah en raisonnant selon ta réponse, je pense trouver le résultat qui serait de 1.

3^n \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right) (\frac{-2}{3})^k

= 3^n \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right) (1)^n^-^k (\frac{-2}{3})^k

selon la formule de Newton
= 3^n \times (1-(\frac{-2}{3}))^n
= 3^n \times (\frac{1}{3})^n
en simplifiant
= 1

Mon raisonnement est-il exact ?

Merci d'avance!

Posté par
numero10re : Binôme de Newton appliqué 24-12-11 à 23:33

Le raisonnement me semble correct à une faute de frappe près.

Tu peux essayer de vérifier pour des petites valeurs de n.


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