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Bloqué à la fin de mon DM sur les nombres complexe!
Ben voila, je viens de passer en Terminale, mon prof m'a donner un DM que j'ai quasiment fini, mais il y a deux questions ou je bloque!! voici l'énoncé :
Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;
;
) On considère les points M et M' d'affixes respectives z et z'. On pose z=x + iy et z' = x' + iy' où x, x', y et y' sont des réel.
J'ai déja prouvé que les vecteurs OM et OM' sont orthogonaux ssi Re(z'z barre) = 0, ainsi que les points O,M et M' sont alignés ssi Im(z'z barre)=0.
Mais je bloque à la question 3!
N est le point d'affixe z²-1. Quel est l'ensemble des points M tels que les vecteurs OM et ON soient orthogonaux?
J'ai essayé de partir de OM.ON = 0 <=>(x+iy)((x+iy)²-1) = 0
<=>(x+iy)3 - (x+iy) = 0
<=>(x+iy)3 = (x+iy)
<=>(x+iy)² = 1
<=>x + iy = racine1 ou x + iy = -racine1
Mais j'ai l'impression de ne pas être parti comme il le faut, pourriez vous m'aider?
Ensuite je vous donne la fin de l'énoncé, ou je bloque aussi un peu (mais je pense que je vais y arrivée sii je trouve la question précédente):
On suppose que z est non nul. P est le point d'affixe 1/z²-1
On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que les points O,N et P soient alignés.
a)Démontrez que (1/z² - 1)((z²-1)barre) = -z²barre module(1/z²-1)²
b) En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble cherché.
S'il vous plait, j'ai vraiment besoin d'aide, je ne demande pas la réponse mais juste des pistes pour y arriver
les vecteurs OM et ON sont orthogonaux => Re((z²-1)(zbarre))=0
=> Re((z²-1)(x-iy))=0
=> Re(z²x -z²iy-x+iy)=0
=> Re(x(x+iy)²-iy(x+iy)² - x+iy)=0
=> Re(x(x²+2iyx-y²)-iy(x²+2iyx-y²)-x+iy)=0
=> Re(x^3+2iyx²-xy²-iyx²+2xy²-iy^3-x+iy)=0
=> Re(x^3+iyx²+xy²-iy^3 - x+iy)=0
=> Re((x^3+xy²-x)+i(yx²-y^3 +y))=0
=> x^3+xy²-x = 0
=> x^3+xy² = x
=> x²+y² = 1
=> L'ensemble des points M est le cercle de centre K(x;y) et de rayon 1.(ou l ensemble M est tous les complexes dont le module = 1 ainsi que tous les imaginaires purs!, mais je ne sais pas trop comment le dire!)
Pour la question suivante je bloke par contre!!
(1/z² - 1)((z²-1)barre) = (1/(x+iy)² - 1)(((x+iy)² - 1)barre)
= (1/(x²+2ixy-y²) - 1)((x²+2ixy-y²-1)barre)
= (1/(x²+2ixy-y²) - 1)(x²-y²-1-2ixy)
= (x²-y²-1-2ixy)/(x²+2ixy-y²) - x²+y²+1+2ixy
= (z²barre - 1)/z² - z²barre + 1
Et il faut que j arrive a : -z²barre module(1/z² - 1)²
Je ne suis pas trés loin mais je ne vois pas comment y arriver!!
Bonjour
Pour 3) OK mais tu fais une simplification abusive par x : tu as obtenu (avant-drenière ligne) :
x^3+xy² = x
ce qui donne x(x²+y²-1) = 0, donc x = 0 ou x²+y²=1 : réunion d'une droite et d'un cercle.
Pour la suivante :
et tu aboutis au résultat attendu.
a OK, merci bocoup, j'avais trouvé une otre manière, mais celle ci est plus simple!! Et j'ai beau chercher, je ne vois pas comment trouver le b), il faut surement utiliser "O,M et M' sont alignés ssi Im(z'z barre)=0." donc :
Im((1/z² - 1)((z²-1)barre)) = 0, mais je ne vois pas commen exploiter le résultat précédent??
Bonjour,
Oui et
soit:
soit encore:
Avec le a), on en tire:
distinct de
donc
et
et
distincts de
donc
soit enfin
c'est à dire réel ou
imaginaire pur avec
et
L' ensemble des points cherché est donc l' axe des réels et l' axe des imaginaires privés de l' origine et des points d' affixe
Un oubli: pour que et
soient aussi distincts, il faut que
et que
.
L' ensemble cherché est donc l' axe des réels et l' axe des imaginaires privés de l' origine et des points d' affixe: 1,-1,i et -i.
OK, j'ai compris le principe, merci beaucoup, mais je comprend pas pourquoi pour que P et N soient aussi distincts, il faut que z
i, car i²=-1 donc il n'y a pas a exclure ceux la?
Encore merci de ton aide
Re,
J' ai fait un peu rapidement, mais:
Pour que l' exercice ait un sens, il faut que les points 0,N et P soient distincts 2 à 2 et qu' ils soient définis.
C' est à dire:
Soit:
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