Bonjour


dans l'énoncé ce ne serait pas   T_n+1(x)= 2X*T_n(x) - T_n-1(x)   au lieu de  Tn+1(x)= 2*Tn(x) - Tn-1(x)  ?

3) par récurrence forte sur n


4) ??? pas d'idée

Bonsoir daddo59

Pour te mettre sur la voie pour le 3): Exprimer T4(x).

Bonsoir daddo59,

la question 3 se fait par récurrence.

oui j'ai oublié le X ...
Qu'est ce que tu entends par recurrence forte ??

Ceci dit je suis d'accord avec siOk, il doit manquer un X

oups désolé

Pas besoin d'une récurrence forte, il suffit de faire une récurrence à deux crans, c'est-à-dire supposer la propriété vraie pour T_n mais aussi pour T_n-1

il faut donc faire deux initialisations...

euh ... j'ai des problémes pour voir comment une récurrence va m'aider pour le 3) ou alors je m'y prend comme un manche ...

il faut montrer par récurrence que deg(T_n)=n

Pour la 3), récurrence à deux crans comme dit plus haut

n>0, T_n+1(x)= 2X*T_n(x) - T_n-1(x)

en raisonnant sur les degrés, tu peux remarquer que T_n+1 est de degré (n+1), et surtout qu'il n'y a qu'un seul terme qui apporte du Xⁿ⁺¹

tu peux donc facilement en déduire le degré de Tn et son coefficient. Une fois que tu as ces informations, la récurrence ne devrait pas poser de problème

Pour la 4), je sais plus exactement mais essaye d'utiliser la relation Tn= cos(nArccos) dans ton equadiff et de simplifier avec les expressions trigonométriques,

P.S. : n'oublie pas dans la récurrence de dire que n*, c'est une erreur fréquente

ouf ... je comprends pas tres bien comment y faut que je m'y prenne...
J'ai l'initialisation,

       T₃(x)= 2x * T₂(x) - T₁(x)
                       = 2x*(2x²-1)-x
                       = 4x³-3x

La relation est donc vraie au rang n=3

Mais apres, il faut que je démontre quoi ... que T_n+2(x)= 2x*T_n+1(x) - T_n(x), si oui comment ??

bonjour daddo59,

tu cherches à montrer que T_n est une fonction polynomiale, à trouver son degré et son coefficient dominant.

Il faut donc démontrer par récurrence que T_n est un polynome. Que deg(T_n)=n et que son coefficient dominant est : 2ⁿ


Pour cela tu initialises ta récurrence pour n=1, n=2, (et n=3, soyons fous !) T₁ T₂ et T₃ sont des polynômes de degré 1, 2 et 3. Tu suppose que T_n et T_n-1 sont des polynômes de degré n et n-1, de coefficients dominant 2ⁿ et 2^n-1...

je te laisse finir, j'en ai déjà trop dit...

3) Par récurrence, tu montres juste que le degré de Tn est n, et que le coefficient de plus haut degré dans Tn est 2^(n-1), grâce à la relation de récurrence entre les (Tn), qui peut être prouvée de cette façon :
cos((n+2)arcosx) = cos((n+1)arcosx)*cos(arcosx) - sin((n+1)arcosx)*sin(arcosx)    ( cos(a+b) )
et
cos(narcosx) = cos((n+1)arcosx)*cos(arcosx) + sin((n+1)arcosx)*sin(arcosx)   ( cos(a-b) )

En sommant les deux équations, tu as :
cos((n+2)arcosx) + cos(narcosx) = 2*cos((n+1)arcosx)*cos(arcosx)
Donc Tn+2(x)-2*x*Tn+1(x)+Tn(x) = 0

4) (Tn)n est la suite des polynômes de Tchebychev, qui vérifient, pour tout x dans R:
Tn(cos(x)) = cos(nx)

Les racines de ton polynôme sont donc les ak définis par :
ak = cos((2k-1)*Pi/(2n)) pour k dans {1,...,n}

Après tu dois démontrer que tous les (ak) sont différents, et donc, Tn étant de degré n, les (ak) sont exactement les racines de Tn.

Désolé, je viens de voir que tu avais déjà établi la formule.

Pour trouver que le coefficient de plus haut degré est 2^(n-1) et que le degré et n, tu fais une récurrence avec une double initialisation.
Tu montres le résultat pour n=1 ET n=2

Et ensuite tu montre que, soit P(n) ton hypothèse de récurrence,
P(n) et P(n+1) => P(n+2)

Et la récurrence est immédiate avec la formule.

Youpi !!!! sa y est j'ai réussit !!!
Merci beaucoup à vous tous !!!!