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borne inf d'un ensemble

Posté par
leslie40 23-10-08 à 18:00

Bonsoir,
Je suis complètement bloquée sur un exercice dont voilà le sujet :

Soit a un réel, on note Da, l'ensemble des fonctions f éléments de C²([0,1],R) telles que f(01)=f(1)=0 et f'(0)=a.
Déterminer la borne inférieure de l'ensemble a définit par :
a = {\int_0^{1} f''(t)^{2} dt | fDa }.

Je ne sais pas du tout comment trouver cette borne inf.
Pourriez-vous me donner une piste ?
Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : borne inf d'un ensemble 23-10-08 à 18:31

Salut

As-tu essayé avec Cauchy-Schwarz ?

Posté par
leslie40re : borne inf d'un ensemble 24-10-08 à 09:32

oui j'ai bien essayé mais je n'arrive pas à conclure.
Pourrai-tu m'aider un peu plus ?

Posté par
leslie40re : borne inf d'un ensemble 24-10-08 à 16:02

Si quelqu'un a un peu de temps pour me répondre ça serai vraiment gentil.
Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : borne inf d'un ensemble 24-10-08 à 16:32

Encore moi!

Cette fois je n'ai que des suggestions, il faudrait que je cherche un peu.

Alors voilà: le premier exemple de fonction de Da qui vient à l'esprit est la fonction f(t)=at-at2.

Pour celle-ci f''(t)^2=4a^2 et l'intégrale vaut aussi 4a2.

Ca montre déjà que l'inf est plus petit que 4a2.

Pour conclure, si c'est bien ça sa valeur, il faudrait montrer que pour toute f de Da l'intégrale vaut plus. Pour l'instant, je ne vois pas trop...

Posté par
Fradelre : borne inf d'un ensemble 25-10-08 à 19:02

Bonsoir,

je me trompe peut-être mais il me semble que  Nightmare + Camélia = Solution
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

    (\int_0^1{f''(t).1}dt)^2\le(\int_0^1 f''(t)^2 dt).(\int_0^1 1 dt)

avec égalité lorsque f" est constante.

On obtient alors, f(t) = a.t - a.t2  et

    (f'(1) - f'(0))^2=(\int_0^1 f''(t)^2 dt).(\int_0^1 1 dt)
soit
    \int_0^1 f''(t)^2 dt=4.a^2


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