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Borne inférieur : besoin d'une vérification

Posté par
olive_68 12-03-10 à 19:25

Bonjour

J'aimerais bien savoir si mon exercice est juste ^^ le voilà :

Citation :
Soit 3$a un réel. Démontrer que 3$a est la borne inférieure de l'ensemble des nombres rationnels 3$>a .


(Je compte utiliser le th. de la borne inférieur.)

D'abord on montre qu'il est non vide notre ensemble :

Citation :
        On note 3$\cal{A l'ensemble des nombres rationnels 3$>a, 3$\mathcal{A}=\{x\in \mathbb{Q} \| x>a\}.

        Soit 3$b=\[a\]+1.

        Comme 3$a\in \bb{R} on en déduit que 3$b\in \bb{Q}. De plus, 3$[x]\le x< [x]+1 donc 3$b majore 3$a, c'est-à-dire, 3$\blue b\in \cal{A}.

Conclusion : 3$\red \fbox{\cal{A}\neq \empty.


Montrons qu'il existe une suite de nombres rationnels d'éléments de 3$\cal{A} convergente vers 3$a.  ( La suite 3$u_n=\fr{[10^na]+1}{10^n} semble être un bon candidat,on va essayer de la montrer ^^ )

Citation :
3$n\in \bb{N},
        Soit 3$u_n=\fr{[10^na]+1}{10^n} est une suite à valeurs dans 3$\mathbb{Q}.

        On sait que 3$[10^na]\le 10^na \ < \ \fr{[10^na]+1}{10^n}, ce qui après avoir divisé par 3$10^n \ (>0) donne  3$\fr{[10^na]}{10^n}\le a \ < \ u_n.

        En retranchant 3$\fr{[10^na]}{10^n} on a 3$\blue \|a-u_n \| \ < \ \fr{1}{10^n}.

Conclusion : D'après le th. des gendarmes, 3$\red u_n converge vers 3$\red a.


Maxi conclusion : D'après le th. de la borne inférieur, 3$\reverse \opaque \fbox{\inf (A) \ = \ a

Merci d'avance

Posté par
olive_68re : Borne inférieur : besoin d'une vérification 12-03-10 à 20:15

Je viens de me rendre compte que j'ai oublié une justification après après écrit 3$\fr{[10^na]}{10^n}\le%20a%20\%20%3C%20\%20u_n : On en déduit que 3$\(u_n\) est à valeurs dans 3$\cal{A}.

Posté par
Drysssre : Borne inférieur : besoin d'une vérification 12-03-10 à 20:29

Parfait.
Si tu fais ca chez toi, pas de pb car il faut s'entrainer à rédiger. Mais à mon avis tu détailles beaucoup trop.
J'espere que tu essayes de rédiger de maniere un peu plus compacte pour les DM/DS.

Posté par
Drysssre : Borne inférieur : besoin d'une vérification 12-03-10 à 20:32

Je dis que c'est parfait mais en fait, j'ai quand même 3 petites remarques/remarques

1) a quoi sert de montrer que l'ensemble est non vide?
2) Pourquoi veux tu utiliser le théorème de la borne inferieure?
3) Qu'as tu montré après avoir montré que (un) converge vers a? Qu'as tu oublié d'expliciter(même si c'est à peu près clair)?

Posté par
olive_68re : Borne inférieur : besoin d'une vérification 13-03-10 à 01:23

Salut Drysss

Merci d'avoir répondu .

Oui c'est un exercice d'entrainement, un des premiers ou je manipule des sup et des inf et je sais pas trop ce qui est à justifier ou pas ^^.

1. Pour montrer l'existence d'un tel ensemble car s'il est réduit à l'ensemble vide alors tout élément le majore.
Par exemple comme ce genre d'ensemble3$\cal{A}=\{x\in \mathbb{R}_+^*\| x<y \ et \ \sin(x)-1>x\}, même si c'était 'évident' que l'ensemble de l'exercice n'est pas vide. C'est le genre de truc à écarté en DS tu penses ?

2. : En fait je croyais que le th. que je voulais utiliser s'appelait comme ça, mais j'ai vérifier dans le cours mais en fait c'est un proposition.

3. : Je pensais que 3$\|u_n-a\|\le \fr{1}{10^n} suffisait à prouver la convergence, il fallait préciser la décroissance de 3$(u_n) ?

Merci encore

Posté par
olive_68re : Borne inférieur : besoin d'une vérification 13-03-10 à 01:26

Ah euh pour le 3. j'ai peut-être fait le jambon, il fallait que j'écrive que 3$\lim_{n\to \infty} u_n \ = \ a ?

Posté par
Drysssre : Borne inférieur : besoin d'une vérification 13-03-10 à 07:13

Je réponds à toutes ces questions.


1) et 2) bon en fait pour avoir une rédaction précise, autant utiliser ce théorème de la borne inf.
Je retire donc mes questions ^^.

3) tu as bien montré que un converge vers a pas de probleme. Mais ce que tu peux en déduire, c'est seulement que inf A <= a.
Pourquoi as t-on inf A =a??

Voila une redaction possible :  
A est minoré par a et non vide ([a]+1 appartient clairement à A). Donc inf A  existe et est >=a.
Considérons (un) tel que tu l'as écris. On montre qu'(un) converge vers a comme tu l'as fait.
Donc inf A <= a.
Finalement inf A =a.


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