Lemme :
Preuve : Il s'agit d'une simple étude de fonction...
Retour à l'exercice : On remarque tout d'abord que
d'où
Ensuite on passe en revue deux possibilités pour
![\spadesuit](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\spadesuit)
Soit
et alors il existe
![\large{n_0 \in \mathbb{N}^*}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large{n_0 \in \mathbb{N}^*} )
tel que
Donc d'après le lemme,
![\spadesuit](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\spadesuit)
Soit
et alors par croissance de
sinus sur
on a
En définitive, il existe
![\large{N \in \mathbb{N}^*}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large{N \in \mathbb{N}^*})
tel que
donc
On en déduit
Quant à la continuité... f n'est pas continue... du moins pas partout!
Un résultat célèbre est que
![\large{(\sin(n\alpha))}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large{(\sin(n\alpha))})
est dense dans [-1,1] si
![\frac{\alpha}{\pi}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\frac{\alpha}{\pi})
est irrationnel...
Donc
![\large{A(\alpha)=1}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large{A(\alpha)=1})
pour
![\large{\frac{\alpha}{\pi}}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large{\frac{\alpha}{\pi}})
irrationnel.
Donc si on prend une suite
![\large(\pi\alpha_n)](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large(\pi\alpha_n))
tendant vers
![\large\frac{\pi}{3}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large\frac{\pi}{3})
avec
![\large(\alpha_n)](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large(\alpha_n))
irrationnel,
on aura
A n'est pas continue en
![\large \frac{\pi}{3}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large \frac{\pi}{3})
. On peut par contre montrer que A est continue en
![\large \frac{\pi}{6}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large \frac{\pi}{6})
ou
![\large a\pi](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large a\pi)
(joyeux
![](img/smileys/smile09.gif)
) avec a irrationnel...