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borne sup et borne inf
bnjr; pourai-je avoir quelles que definitions concernant les ensembles bornnés ds R (inf,sup,max;min..)
comment resoudre lexercice suivant:
donner la borne superieur et inferieur de: E1={
n-[n];n
N}
E2={(1/n)+((-1)[sup][/sup]m)/m ,(n,m)
*²} mentrez moi comment aboutir au resultat en detaille svp(le raisonnement a suivre) merci
Posons ,pour n , f(n) = n - E(n) et soit A = f().
Il est clair que A 
[0 , 1[ ; donc si m = Inf(A) et M = Sup(A) on a : 0 
m M 1 . Comme f(144) = 0 on a déjà m = 0.
Pour tout p , { n | E(n) = p } = { p2,p2+1,.....,(p+1)2-1} = { p2 + q | q et 0 q 2p}.
On a donc Sup(A) = Sup { (p2 + q)1/2 - p | (p,q) 2 et 0 q 2p }
Pour q soit Aq = { (p2 + q)1/2 - p | p et p 
q/2} .
Pour tout k on a : M Mk = Sup(A2k) puisque A 
A2k .
Comme p 
(p2 + 2k)1/2 - p est décroissante on a Mk = (k2 + 2k)1/2 - k .
La suite k Mk convergeant vers 1 on a : M 1 et donc M = 1.
Peux tu re-écrire la définition de ton E2 ? Je pense que tu as voulu écrire 1/n + (-1)m/m , mais il vaut mieux en être sûr.
Concernant les définitions de Sup et Inf : Elles se trouvent un peu partout ...mais je te les rappelle:
Soit X une partie non vide de 
et soit M(X) l'ensemble de ses majorants càd M(X) = { y | 
x X , x y }
1.Si M(X) est non vide (on dit que X est majorée) un théorème affirme que parmi les éléments de M(X) il y en a un plus petit que tous les autres . C'est lui qu'on note Sup(X) et qu'on appelle "borne supérieure de X."
2.Si M(X) est vide (on dit que X n'est pas majorée) on écrit Sup(X) = +
.
Ces appellations ne sont pas trop farfelues. 3.Remarques :
31. De cette façon on peut dire que toute partie non vide de admet une borne supérieure (mais que celle-ci est finie SSI X est majorée)
32.Comment travailler avec Sup(X) ?
Dans la pratique on est souvent dans la situation suivante : X est majorée (disons par t)
On a donc Sup(X) t . On pense que t est la borne supérieure de X.Comment faire ?
.On montre que si s est un majorant de X alors s t ou bien (par contraposition ) si u < t alors u ne majore pas X donc minore au moins un élément de X (si on y arrive c'est gagné , sinon ...)
En particulier si on trouve une suite à valeurs dans X qui converge alors lim(u) Sup(X) (théorème souvent ennoncé sous la forme "les inégalités passent à la limite au sens large")
je n'ai rien deviné :
Il faut apprendre à travailler avec ces Sup
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