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borne supérieure
Posté par tiboutchou
bonjour, j'ai un petit problème avec l'exercice que voici:
Soit f une application croissante de [0;1] dans lui-même, et l'ensemble E=(x appartient à [0;1]; f(x)>=x)
1) Montrer que E admet une borne supérieure b
2) montrer que f(b)=b
Pour la 1:
E est non vide (contient 0) , majoré par 1 et inclus dans R donc admet une borne sup b
2 : tu raisonnes par l'absurde :
si f(b) >b , f étant croissante fof(b)>=f(b)>b donc f(b) 
E et f(b)>b :impossible car b majore E
si f(b) < b alors il existe c dans E tel que : f(b) < c <= b ( car f(b) ne majore pas E ) donc ( f étant croissante) fof(b) <=f(c) <= f(b) < c donc f(c) < c . Or c E : contradiction .
donc f(b) = b
comaths
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