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Borne supérieure et borne inférieure

Posté par
Kisaran 06-02-09 à 14:36

Bonjour

J'ai du mal à saisir les notions de bornes sup/inf surtout que je ne comprends pas ce qu'on veut dire par "le plus petit/grands des majorants/minorants"?

Posté par
Camélia Correcteurre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 14:45

Bonjour

Exactement ce que l'on dit! Prenons ]0,1[. Tout nombre supérieur à 1 est un majorant, parmi tous ces majorants 1 est le plus petit. Donc sup(]0,1[)=1.

Essaye d'expliquer pourquoi

Inf\{1/n|n\in{\bb{N}^*}\}=0

Posté par
twanmalre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 14:48

Borne sup = le plus petit ds majorants ( si je me souviens bien.)
Borne inf = le plus grand des minorants.

Un exemple

f(x)=sin(x) est majorée par 1 et tout ce qui est plus grand. Mais le plus petit des majorants est 1 donc sup(f)=1 sur R
idem pour inf(f)=-1 sur R

Posté par
Kisaranre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 15:25

Citation :
Tout nombre supérieur à 1 est un majorant


Mais l'ensemble ]0,1[ est majoré par 1, donc il n'y a pas d'autres majorants?

Inf(\frac{1}{n})=0 parce que \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{n}=0 donc 0 est le minorant.

A part ça, je n'ai rien compris.

Posté par
Camélia Correcteurre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 15:41

Mais si, 2, 3, \pi 3000 sont des majorants de ]0,1[

Ensuite rien ne dit que la limite d'une suite est un minorant!

Posté par
Kisaranre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 16:03

Alors là, je ne comprends plus rien.

Posté par
Camélia Correcteurre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 16:06

x\in ]0,1[\Longrightarrow x \geq 2009 donc 2009 est un majorant de ]0,1[ (Et si tu commençais par bien lire les définitions du cours?)

Posté par
Kisaranre : Borne supérieure et borne inférieure 06-02-09 à 16:22

merci beaucoup, vous m'avez donné les exemples absents de mon cours qui m'ont permis de comprendre !

Encore une chose, le majorant/minorant désigne l'abscisse ou l'ordonnée d'une fonction? je veux dire que s'il existe un réel M tel que \forall x\in\mathbb{R}\ f(x)>M et il existe une valeur \alpha tel que f(\alpha)= M. C'est \alpha ou M le minorant dans ce cas-ci?

Ceci dit, je ne sais toujours pas comment faire pour trouver les bornes sup et inf. Quelles sont les méthodes?


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