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Boule fermée dans l'espace L1
Posté par Vavadadu
Bonjour. 
Je ne parle pas la France très bien, mais j'espère que vous me comprendrez. J'ai un problème à prouver.
est une mesure finie sur l'espace
Toute boule fermée de l'espace
(et
) est clos comme un sous-ensemble de l'espace
aussi. Prouvez-le.
Merci.
Soit m une mesure positive sur (E,T) telle que m(E) < +
.
Si f et g sont des applications de E dans 
+ qui sont T-mesurables et si s et t sont des réels > 0 telsque 1/s + 1/t = 1 alors on a 
fgdm 
(fsdm)1/s. (gtdm)1/t.
Si g = 1 l'inégalité précédente est f (m(E))1/t.(fs)1/s
On en déduit que pour tout réel s > 1 on a Ls(E,T,m) 
L1(E,T,m)
(prendre t = s/(s - 1) )
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