Bonjour

||x|| je l'appelle N(x)

N(x/(1+N(x)))= propriété de la norme 1/(1+N(x)).N(x)=  N(x)/(1+N(x)) qui est <1  donc l'element est dans la boule ouverte

Oui effectivement, je n'y avais pas pensé ! Merci beaucoup.

Pour la bijection, saurais tu comment je dois faire ?

Ton f-1 est forcément inexact, parce qu'il est non défini pour les elements de la sphère unité ||x||=1. Or f est bijective...

oui mais seulement aucun n'élément ne peut atteindre 1.

On vient de montrer que f est définie dans la boule ouverte B(0,1) = {pout tout x,||x||<1}

Laisse tomber mon dernier message! C'est stupide puisque B(0;1) est la boule ouverte (ce que ne dit pas ton énoncé)

Pour la bijection, je prendrais y dans la boule ouverte ||y||<1 et je chercherais x=ky tel que f(x)=y  (on est dans un espace vectoriel). Il faut trouver k, et montrer qu'il est unique.

on a donc y = x / (1 + ||x||) = f(x)   or x = k*y

donc y = k*y / (1 + ||k*y||)

Mon problème vient de la norme au dénominateur, dois je étudier deux cas

Pas la peine!

k est positif et >1  d'après l'écriture de f(x) car 1/(1+||x||) est positif et <1

donc en résolvant tu trouves ce que tu avais conjecturé: k= 1/(1-||y||)  et donc x=y/(1-||y||) et il existe tjs et il est unique. D'ou la bijection.

Merci beaucoup j'ai compris. Je n'ai pas pensé qu'on pouvait sortir k de la norme.

Comment montrer qu'une de ces fonctions est continue? Doit-on utiliser le critère séquentiel la réciproque sera continue forcément.

Je n'ai pas reflechi exactement, mais je pense que tu peux prouver que f est lipschitzienne d'ordre 1, et ça implique qu'elle est continue.

Oui c'est une des question qui suive, ces fonctions sont-elles lipschitzienne.

Pour f la réponse est oui, pour f-1 c'est faux a mon avis.


Pour ce qui est de la continuité je vois pas du tout.

Bjr,
LA continuité est évidente c'est le quotient d'une fonction continue par une fonction continue jamais nulle..

Effectivement, c'est du niveau terminal. Je ne sais pas pourquoi je cherche toujours a tout compliquer.


Pour ce qui est du fait que ces fonctions soient lipschitzienne.

f est 2 lipschitzienne. et f-1 n'est pas lipschitzienne. mais comment montrer tout ca ?