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bug suite récurrente

Posté par
mouss33 01-06-09 à 12:44

Bonjour tout le monde

j'ai un bug sur la correction d'une suite récurrente.

Bon déjà je rappel un des théorèmes qui pourrait servir:

Th: Soit f continue sur I. Si f est croissante sur I, alors (Un) a pour limite un point fixe de f ou une extrémité de I.

Voici la suite récurrente en question:

U_{n+1}=\frac{4-{U_n}^2}{3}

On ne connait pas son premier terme U_0 donc on regarde les différentes possibilités.

On en arrive au cas où U_0 \in ]-4;0[ Sur cette intervalle, f est croissante, f(-4)=-4 et f(O)=\frac{4}{3}

voilà la correction:

Supposons que u_n\in ]-4:0[. alors U_n serait croissante et majorée par 0. Elle serait donc convergente vers l. Mais on aurait -4\le u_0\le l \le 0.

C'est absurde car elle ne peut converge que vers -4 ou 1 (les 2 points fixes de f)

Je ne comprend pas cette absurdité car d'après le théorème que j'ai cité plus haut, elle peut converger vers une extrémité de I et donc ici, 0.

Pourquoi mon raisonnement est-il erroné?!

Posté par
pythamedere : bug suite récurrente 01-06-09 à 13:40

Citation :
Supposons que u_n \in ]-4;0[. alors Un serait croissante et majorée par 0.


Cela ne veut rien dire

Une suite est croissante, ou décroissante, ou constante, ou autre chose. Elle peut être croissante "à partir d'un certain rang". Mais elle n'est pas "croissante sur un intervalle" !

Tout ce que tu peux dire, c'est : si u_n \in ]-4;0[ alors u_{n+1} \ge u_n

Je pense que tu voulais dire : Si u_0 \in ]-4;0[ alors U_n est croissante et majorée par 0 !

Mais ça c'est faux ! Qu'est-ce qui te garantit que U_n est croissante ? Qui te dit qu'elle est majorée par 0 ?

Posté par
mouss33re : bug suite récurrente 01-06-09 à 13:54

lol!

En fait j'ai recopié la correction du livre! je viens de vérifier et c'est bien ce qu'il y a marqué à la différence près qu'à la place de "serait", il emploie le présent: U_n est croissante et majorée par 0!

mais lorsque tu écris : u_n \in ]-4;0[ alors u_{n+1} \ge u_n , tu écris bien la monotonie de la suite non?

et ensuite elle est a priori bien majorée par 0 puisqu'on a supposé que \forall n, u_n \in ]-4;0[.

Posté par
pythamedere : bug suite récurrente 01-06-09 à 14:35

Les livres ne sont pas écrits par des robots infaillibles, mais par des êtres humains ! Il arrive que ce qui est écrit dans un livre soit faux, pour tout un tas de raisons possibles, parmi lesquelles, simplement une faute d'inattention d'un auteur par ailleurs parfaitement compétent !

Il est clair que si un=0 (pour une certaine valeur de n) alors un+1=4/3, et un+2=20/27 qui, me semble-t-il, est plus petit que 4/3.
On observe donc que un+1>un d'une part et que un+2<un+1 d'autre part. Dans ce cas, la suite Un n'est ni croissante ni décroissante, et elle n'est pas davantage majorée par 0 !

Posté par
mouss33re : bug suite récurrente 01-06-09 à 15:21

oui c'est exact! Du coup mon raisonnement est effectivement mauvais!

Toute façon en traçant la courbe, on voit que quelque soit les valeurs de U_0, la suite ne tend jamais vers 0. Mais je n'arrivais pas à voir pourquoi.

Maintenant c'est plus clair! Merci à toi.


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