Bonjour.

Sauf erreur de ma part, la première intégrale s'exprime au moyen de la fonction "dilogarithme".

Bonjour,

Peux tu m'en dire un peu plus sur cette fonction stp?

Bonjour (salut Raymond )

Tu cherches des intégrales ou des primitives?

coucou,

a la base c'est une intégrale sur [o ; +inf [ pour l'intégrale ∫-x* e^(-x) *ln⁡(1-e^(-x))dx

ramené à une intégrale sur [0 ; 1] pour l'intégrale ∫ln(z)*ln(1-z)dz avec le changement de variable

pour l'autre question c'est une primitive que je cherche ( ∫(y^a)*((x-y)^b)dy  où a et b sont des constantes >0 )

Bonjour Camélia. Bonnes vacances ?

simerane : consulte Google.

I = S(de0à1) ln(z) .ln(1-z) dz

Le développement de Mac Laurin de ln(1-z) est convergent pour z dans ]-1 ; 1[ est :

ln(1-z) = -z - z²/2 - z³/3 - ... - z^n/n - ...

ln(1-z) = - Somme (de n = 1 à +oo) de [z^n/n]

I = S(de0à1) ln(z) .(-z - z²/2 - z³/3 - ... - z^n/n - ...) dz

Or S z^n.ln(z) dz = (1/(n+1)).z^(n+1)*(ln(z) - 1/(n+1))

S(de 0 à 1) z^n.ln(z) dz = -(1/(n+1))* (-1/(n+1)) = 1/(n+1)²

--> I = Somme (de n = 1 à +oo) (1/(n.(n+1)²)) = 0,3550...
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Sauf distraction.  

Un grand merci à toi J-P

Généralités pour le 2ème exercice:

Extrait du "Calcul différentiel et intégral" de N.Piskounov.

On appelle binôme différentiel l'expression :

x^m * (a + b.x^n) dx ou m, n, a et b sont des constantes.

(C'est le cas de l'exercice à condition de remplacer les lettres : x par y, m par a, a par x (qui est constante puisque la variable d'intégration est y), b par -1, n par 1)

Alors: S x^m * (a + b.x^n) dx peut être ramenée, si m, n, p sont des nombres rationnels, à l'intégrale d'une fonction rationnelle et, par conséquent, peut être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires, dans les 3 cas suivants:

1) p est un nombre entier (positif, négatif ou nul).
2) (m+1)/n est un nombre entier (positif, négatif ou nul).
3) (m+1)/n + p est un nombre entier (positif, négatif ou nul).

Suit la démonstration ...

Et ensuite :
Remarque: P.Tchébychev a démontré que l'intégrale des binômes différentiels à exposant rationnels ne peut être exprimée par des fonctions élémentaires que dans le 3 cas cités plus haut, à condition bien-entendu qye a différent de 0 et b différent de 0).
Si aucun des nombres p, (m+1)/n, (m+1)/n + p n'est entier, cette intégrale ne peut être exprimée par des fonctions élémentaires.
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Bref, sans précision sur a, b et x dans ton exercice, on ne peut pas avancer.

Sauf distraction.