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Calcul d'intégrale (Loi de Stefan)

Posté par
infophile 02-01-09 à 14:02

Bonjour ;

Dans le cadre de la démonstration de la loi de Stefan-Boltzmann, on a à calculer l'intégrale 3$ \bigint_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{x}-1}dx=\frac{\pi^4}{15}

Quelqu'un a-t-il une démo ? Je pensais me ramener à une intégrale de Gauss mais je ne trouve pas de changement de variable efficace.

Merci

Posté par
Nightmarere : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 15:01

Salut

Le résultat me fait plus penser à la fonction zeta plutôt que celle de Gauss !

Si on revient à la définition de zeta par une intégrale complexe :
4$\rm 2i\pi \zeta(s)=e^{-i\pi s} \Gamma(1-s)\Bigoint_{C} \frac{z^{s-1}}{e^{z}-1}dz

où C est un contour du type :

Calcul d\'intégrale (Loi de Stefan)

Posté par
infophilere : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 15:02

Salut

J'ai pas encore fait d'analyse complexe.

Autre solution ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 15:07

Salut à tous

Kévin > on peut aussi utiliser le développement en série entière de 1/(1-u) pour développer \Large{\frac{1}{e^x-1}}. On aura alors à intervertir une série de fonctions et une intégrale.

Kaiser

Posté par
Nightmarere : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 15:08

Joli Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 15:08

Posté par
infophilere : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 18:11

Bonsoir ;

\Bigint_{0}^{+\infty}\(\Bigsum_{n=0}^{+\infty}x^3e^{nx}\)dx=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\Bigint_{0}^{+\infty}x^3e^{nx}dx

Par IPP j'ai trouvé une primitive : x\to \frac{(-6+6nx-3n^2x^2+x^3n^3)e^{nx}}{n^4}

En 0 on obtient -\frac{6}{n^4} et on a en effet \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{6}{n^4}=\frac{\pi}{15}

Mais le terme en l'infini diverge (?). A mon avis le prob c'est que j'ai remplacé sans scrupule u par ex dans le DES alors que le rayon de convergence est 1.

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 18:17

c'est normal : pour x positif, \Large{e^x \ge 1} donc ton développement n'est pas correct.

Il faut d'abord écrire \Large{\frac{1}{e^x-1}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}}

Kaiser

Posté par
infophilere : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 18:22

Quel idiot..

Merci ça marche

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul d'intégrale (Loi de Stefan) 02-01-09 à 18:22

mais non, ne dis pas ça !

Kaiser


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