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calcul d'un reste integral Laplace

Posté par
AnX 16-03-10 à 19:46

Bonjour,

Voila j'ai un exercice dans lequel je dois prouver que
\huge \frac{1}{1+X} = \bigsum_{k=0}^{N} (-1)^k X^k + \frac{(-1)^{N+1} X^{N+1}}{1+X} \\

La formule de Taylor avec reste integral de Mr Laplace convient parfaitement
On montre par recurrence que
\huge (\frac{1}{1+X})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}

En remplaçant tout ça dans taylor et en se plaçant en a=0, j'arrive effectivement à ce qu'il faut, sauf pour le deuxieme membre j'arrive à cette intégrale
\huge \bigint_{0}^{X}\frac{(x-t)^n}{(1+t)^{n+2}}dt
Et je vois vraiment pas comment la calculer :S

Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de main ...
Merci

AnX

Posté par
olive_68re : calcul d'un reste integral Laplace 16-03-10 à 19:59

Salut

On pouvait faire plus simple : 3$1-x+x^2-...+(-1)^nx^n=\fr{1-(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x} donc 3$\fr{1}{1+x}=\Bigsum_{k=0}^n \ (-1)^kx^k+\fr{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{x+1}

Posté par
AnXre : calcul d'un reste integral Laplace 16-03-10 à 20:08

je ne vois pas comment tu montre ta premiere egalite

je suis ok que
\large \frac{1}{1+X} = \bigsum_{k=0}^{\infty } (-1)^n X^n

merci de ton aide

Posté par
olive_68re : calcul d'un reste integral Laplace 16-03-10 à 21:22

C'est une somme de terme de suite géométrique de raison 3$-x, on utilise la formule qu'on voit en première pour de telles suites

Posté par
AnXre : calcul d'un reste integral Laplace 16-03-10 à 21:27

Erf ! Ben oui ! c'est pourtant evident ! lol
Merci ^^

Posté par
olive_68re : calcul d'un reste integral Laplace 16-03-10 à 21:29

^^

Je t'en prie


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