Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Calcul d'une limite

Posté par
Yota 13-12-08 à 22:58

Bonsoir,

je suis en train de faire un exercice d'analyse et il ne me manque plus qu'un point pour avoir fini ; le voici :

Si f(x)=e^{-x^2}\bigint_0^x e ^{t^2^}dt, alors 2xf(x) 1 quand x

Mertci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcul d'une limite 14-12-08 à 01:03

Bonsoir Yota ;

D'une part on a 4$\fbox{2xf(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}2xe^{t^2}dt\;\ge\;e^{-x^2}\int_{0}^{x}2te^{t^2}dt\;=\;1-e^{-x^2}}

et d'autre part pour x>y>0 on a 3$\fbox{2xf(x)=2xe^{-x^2}\int_{0}^{y}e^{t^2}dt\;+\;2xe^{-x^2}\int_{y}^{x}e^{t^2}dt\;\le\;2xye^{-(x^2-y^2)}\;+\;\frac{x}{y}e^{-x^2}\int_{y}^{x}2te^{t^2}dt}

ce qui donne 3$\fbox{2xf(x)\;\le\;(2xy-\frac{x}{y})e^{-(x^2-y^2)}\;+\;\frac{x}{y}}

et en prenant par exemple y=x-1 on aboutit à l'encadrement valable pour tout x>1 :

5$\blue\fbox{1-e^{-x^2}\;\le\;2xf(x)\;\le\;(2x^2-2x-\frac{x}{x-1})e^{-(2x-1)}\;+\;\frac{x}{x-1}}

qui montre clairement que 5$\red\fbox{\lim_{x\to+\infty}\;2xf(x)\;=\;1} sauf erreur bien entendu

Posté par
Yotare : Calcul d'une limite 14-12-08 à 09:49

J'applaudis    

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcul d'une limite 14-12-08 à 10:30

De rien Yota

La fonction x\to2xf(x) étant clairement paire , on a aussi 5$\red\fbox{\lim_{x\to-\infty}\;2xf(x)\;=\;1}

Remarque :

Il est facile de vérifier que 3$\blue\fbox{{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;f^'(x)=1-2xf(x)}

donc on vient aussi de prouver que 5$\red\fbox{\lim_{|x|\to+\infty}\;f^'(x)\;=\;0} sauf erreur bien entendu

Posté par
Yotare : Calcul d'une limite 14-12-08 à 11:12

Oui, c'était bien pour ça que j'avais besoin de cette limite

Et merci encore


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !