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Calcul d'une limite ln

Posté par
baobabi 14-12-08 à 17:15

Bonjour,

Je doit calculer \lim_{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{\ln\left( x+1 \right)}{\ln\left(x\right)}\right)^{x.\ln\left(x\right)}.
J'ai essayé de passer l'expression en exponentielle et de prendre le logarithme, ce qui revient à trouver \lim_{x \rightarrow + \infty} x.\ln\left(x\right).\ln\left(\frac{\ln\left( x+1 \right)}{\ln\left(x\right)}\right), ici j'ai passé la limite en 0 en posant y=\frac{1}{x}, ce qui donne  \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{y}.\ln\left(\frac{1}{y}\right).\ln\left(\frac{\ln\left( \frac{1}{y}+1 \right)}{\ln\left(\frac{1}{y}\right)}\right) , pour pouvoir utiliser les DLs, je sais que la limite en 0 vaut 1 (maple), mais je tourne en ronds et je ne trouve rien, je pense que j'ai dus louper quelque chose mais je ne vois pas quoi.


Merci d'avance à qui jettera un coup d'oeil au problème.

Posté par
apaugamre : Calcul d'une limite ln 14-12-08 à 17:55

pour utiliser des DL il te faut des trucs qui tendent vers 0

on peut commencer par écrire
x.\ln\left(x\right).\ln\left(\frac{\ln\left( x \right)+\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)}{\ln\left(x\right)}\right)=x.\ln\left(x\right).\ln\left(1+\frac{\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)}{\ln\left(x\right)}\right)

\frac{1}{x}  tends vers 0 et permrets d'écrire un DL

Posté par
veledare : Calcul d'une limite ln 14-12-08 à 18:07

bonjour,
je trouve e comme limite

Posté par
DOMOREAcalcul d'une limite 14-12-08 à 19:17

Bonjour,
En effet comme l'annonce  veleda la limite est e et non pas 1

On encadre facilement  1-1/(xLn(x))<= (Ln(x+1)/Ln(x) <= 1+1/(xLn(x))
puis avec u=1/(xLn(x)) et ainsi:
  Exp(Ln(1-u)/u) <= Expression<= Exp(Ln(1+u)/u) d'où la limite quand u tend vers 0

Posté par
baobabire : Calcul d'une limite ln 14-12-08 à 20:49

Rebonsoir,

Merci beaucoup pour votre aide, en appliquant les deux méthodes je trouve bien la limite égale à e.

Merci encore et bonne soirée.


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