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Calcul d'une somme

Posté par
matix 12-10-08 à 10:45

Bonjour,

Je cherche à déterminer le signe de \displaystyle U(x)= \bigsum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \, \frac{1}{n^x}. Pour ce faire, je pense qu'il doit falloir simplifier la somme précédente, mais je ne vois pas comment.. Avez-vous une idée?

Merci d'avance.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 10:49

Salut,

Essaye peut-être de travailler de la même manière que sur la série harmonique alternée en exprimant 1/n^x sous la forme d'une intégrale.

A+

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 10:56

Peux-tu préciser ta démarche stp, je ne comprends pas où tu veux en venir..

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:01

Et bien je ne sais pas trop, c'était juste une idée comme ça, mais pour la série harmonique alternée, on passe par :

\Large\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\int_0^1t^{k-1}dt

Peut-être y-a-t'il un moyen de s'inspirer de cette technique...

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:06

Je ne connais absolument pas cette méthode!

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:15

Bonjour à tous

Pourquoi ne pas utiliser le critère spécial des séries alternées ?

Il dit que le reste d'ordre 3$n 3$R_n=\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}u_k vérifie : 3$|R_n|\le|u_{n+1}|

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:18

C'est comme l'exercice 17 (où il faut lire : inférieur au premier terme négligé, à savoir 3$u_{n+1})

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:30

J'obtiens:

\displaystyle |R_n(x)| \leq \frac{1}{(n+1)^x} \\
Soit \displaystyle |\bigsum_{k=n+1}^{+ \infty} f_k(x)| \leq \frac{1}{(n+1)^x} \, \, avec \, \, f_n(x)= (-1)^{n+1} \frac{1}{n^x}

Soit encore -\frac{1}{(n+1)^x} \leq \bigsum_{k=n+1}^{+ \infty} f_k(x) \leq \frac{1}{(n+1)^x}

Mais je n'ai pas la somme qui part à n=2 comme je l'aurais souhaité...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:38

Salut gui_tou.

Oups ! Je n'avais pas vu que c'était le signe de la somme qu'on voulait

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:44

Et du coup, avec ce que j'ai écrit, vous pensez qu'on peut conclure?

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:54

Salut pierre

Déjà U est défini pour x>0

3$ U(x)= \bigsum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \, \frac{1}{n^x}

3$U(x)=-\fr{1}{2^x}+R_2

Or 3$|R_2|\le\fr{1}{3^x

Reste à montrer que 4$-\fr{1}{2^x}+\fr{1}{3^x pour avoir 3$U(x)<0

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:58

reste à montrer que ... <0

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 11:58

Je ne comprends pas ce que tu as fait, et comment gui_tou. Le passage de la 1ere à la 2ieme ligne, ainsi que la 3ieme ligne au passage..! Quelques explications seraient les bienvenues!

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 12:36

Pas de prob' !

3$ U(x)= \Bigsum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \, \frac{1}{n^x}. Par fainéantise, j'appelle 3$f_n(x)={4$\fr{(-1)^{n+1}}{n^x}

On a donc 3$ U(x)= \Bigsum_{n=2}^{\infty}f_n(x). Il est assez clair que la fonction U est définie sur 3${\bb R}^*_+.

On peut écrire 3$ U(x)=f_2(x)+\Bigsum_{n=3}^{\infty}f_n(x)=f_2(x)+R_2(x)

Le signe de 3$U(x) est donc celui de 3$f_2(x)+R_2(x)

Or 3$f_2(x)=-\fr{1}{2^x et on sait que 3$R_2(x)=\Bigsum_{k=3}^{\infty}f_k(x) vérifie : 3$0\le|R_2(x)|\le f_3(x)=\fr{1}{3^x  soit encore : 3$\fbox{-\fr{1}{3^x}\le R_2(x)\le \fr{1}{3^x

En ajoutant 3$f_2(x) à l'inégalité on se retrouve avec 3$\fbox{\underbrace{-\fr{1}{2^x}-\fr{1}{3^x}}_{<0}\le f_2(x)+R_2(x)\le \fr{1}{3^x}-\fr{1}{2^x

Ainsi, si on arrive à montrer que 3$\fr{1}{3^x}-\fr{1}{2^x}<0 on aura montrer que 3$f_2(x)+R_2(x)=U(x)<0

On dit ensuite : 3$\fr{1}{3^x}-\fr{1}{2^x}=\fr{2^x-3^x}{6^x}

Et puisque, à 3$x fixé dans 3${\bb R}^*_+, la fonction 3$g(t)=t^x est strictement croissante sur 3$[2,+\infty[ (je te laisse le démontrer ) on a : 3$\forall x\in {\bb R}^*_+\;2^x-3^x<0

Et là, c'est gagné, 3$\fbox{\fbox{\forall x\in {\bb R}^*_+\;U(x)<0

Sauf erreur

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 12:38

Petite erreur qui ne change rien, j'ai oublié une valeur absolue

3$0\le|R_2(x)|\le |f_3(x)|=f_3(x)=\fr{1}{3^x

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 12:49

Merci beaucoup pour tous ces détails gui_tou! C'est clair, beau, et j'ai enfin compris! Il fallait y penser quand même, à séparer la somme..!

Bonne journée!

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 12-10-08 à 12:57

Y a pas de quoi matix

Bonne journée !

Posté par
matixre : Calcul d'une somme 12-10-08 à 23:05

Re-bonsoir!

J'ai autre une question du même ordre que la première. J'aimerais également trouver le signe de F(0) = \bigsum_{n=2}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{ln(n)} (la fonction est en lien avec celle de tout à l'heure, c'est sa primitive prise en 0). Pensez-vous qu'un raisonnement similaire à celui de gui_tou soit envisageable? Si on développe un peu la somme, on peut se rendre compte assez rapidement qu'elle doit être positive pour x>0, mais le raisonnement est loin d'être rigoureux..

Posté par
gui_toure : Calcul d'une somme 13-10-08 à 20:29

Re

Ba 3$F(0)={4$\fr{1}{\ell n(2)}}+R_2 avec 4$0\le |R_2|\le\|\fr{(-1)^3}{\ell n(3)}\|=\fr{1}{\ell n(3)}

et c'est la même histoire que tout à l'heure, non ?


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