Niveau Maths sup

Calcul d'une valeur moyenne

Posté par
adyf 01-02-09 à 11:29

Bonjour à tous,

voilà mon problème est plutôt un problème de physique mais comme le blocage est sur la partie calcul théoriquement ça devrais aller.

Pour cadrer un peu l'énoncé, je dois calculer le Puissance moyenne d'un oscillateur ayant au préalablement calculé sa puissance au cours du temps.

Donc je trouve pour cette puissance Pe:

Pe = Fo²./(m(₀ - ² + 2)).(2cos²(t) - ((₀ - ²)/2)sin(2t))

avec Fo, , ₀, , m = cste.
et t : le temps.

Donc pour calculer la valeur moyenne j'avais pensé a calculer l'intégrale sur une période en prenant comme borne 0-2 mais je suppose que ça pose problème puisque je ne sais pas quand la fonction est croissante, décroissante...

une tite idée ?

Merci d'avance pour ceux qui pourront m'aider ^^

Posté par re : Calcul d'une valeur moyenne 01-02-09 à 14:07

Ta fonction est bien périodique, mais la période n'est pas $2\pi$ , c'est $\frac{2\pi}{\omega}$

Si j'ai bien compris, ta formule peut s'écrire : $Pe=A\cos^2(\omega t)+B\sin(\omega t)$

Ai-je bien compris ?

Posté par re : Calcul d'une valeur moyenne 01-02-09 à 14:22

oui, tout à fait.

Posté par re : Calcul d'une valeur moyenne 01-02-09 à 15:04

Ben dans ce cas, l'intégrale sur une période de $B\sin(\omega t)$ est nulle. Il suffit de calculer l'intégrale du premier terme.

$\displaystyle Pe_m=\frac{1}{T}\int_0^T\,\,[A\cos^2(\omega t)+B\sin(\omega t)]\,dt$

$\displaystyle Pe_m=\frac{A}{T}\int_0^T\,\,[\cos^2(\omega t)]\,dt\,+\ \frac{B}{T}\int_0^T\,\,[\sin(\omega t)]\,dt$

$\displaystyle Pe_m=\frac{A}{T}\int_0^T\,\,[\cos^2(\omega t)]\,dt\,+\ \frac{B}{T}\,\,[\frac{-\cos(\omega t)}{\omega}]_0^T$

$\displaystyle Pe_m=\frac{A}{T}\int_0^T\,\,[\cos^2(\omega t)]\,dt\,$

Ensuite tu linéarise $\cos^2(\omega t)$ ce qui donne $\frac{\cos(2\omega t)+1}{2}$ et c'est facile !

Posté par re : Calcul d'une valeur moyenne 01-02-09 à 15:13

ok d'accord...

et pour la période je suis obligé de prendre 0- $\frac{2\pi}{\omega}$ ?

Posté par re : Calcul d'une valeur moyenne 01-02-09 à 17:07

La période, ce n'est pas un intervalle : c'est un nombre !

Donc, je suppose que tu voulais me parler de l'intervalle [0,T] !

La réponse est non !

Si cela te chante tu peux intégrer de 1 à 1+T ou de $\pi$ à $\pi+289T$ ou de 18,142578 à 18,142578+289T, ou sur tout autre intervalle de largeur "un multiple de T" ; il faudra simplement diviser l'intégrale par le même multiple de T, bien sûr !

Cela se justifie par le fait que si f est périodique de période T, alors sa valeur moyenne est :

$\displaystyle M=\frac{\int_0^T\,\,f(t)\,dt}{T}$

Et que faire le calcul sur une période en partant d'une autre valeur que 0 donne :

$\displaystyle M=\frac{\int_a^{a+T}\,\,f(t)\,dt}{T}$ donne très exactement le même résultat !

De même que "faire le calcul sur plusieurs périodes en partant de n'importe quel nombre réel"

Posté par re : Calcul d'une valeur moyenne 01-02-09 à 17:27

et bien merci à toi pythamede, tu m'as vraiment beaucoup aidé ^^

et oui, c'était bien de l'intervalle dont je te parlais, mon problème étant que je ne sais pas trop retrouver les périodes des fonctions périodiques :/

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