Bonjour.

Partage en deux suites : termes pairs et impairs. Etudie les variations de chacune.

ben si n= 2p je trouve 3/(2n) ou 3/(4p)
si n = 2p+1 je trouve -1/(2n) ou -1/(4p+2)
Qu'est-ce que je fais aprés ça ??

Pour tout n est pair, E(n) > 0 comme somme de 2 termes strictement positifs

1/2^n < 1/n pour tout n et donc E(n) < 0 pour tout n impair.

On peut donc séparer l'étude en 2 cas, n pair et n impair.

a)
n pair:
E(n) = (1/2)^n + 1/n

E(k) = (1/2)^k + 1/k (avec k pair)
E(k+2) = (1/2)^(k+2) + 1/(k+2)

E(k+2) - E(k) < 0
Et donc la suite E(n) avec n pair est décroissante (mais tous ses termes sont > 0)

--> La borne supérieure de E(n) est pour n = 2 soit E(2)= 1/4 + 1/2 = 3/4
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b) n impair :

E(n) = (1/2)^n - 1/n

E(k) = (1/2)^k - 1/k (avec k impair)
E(k+2) = (1/2)^(k+2) - 1/(k+2)

E(k+2) - E(k) = (1/2)^(k+2) - 1/(k+2) - (1/2)^k + 1/k
E(k+2) - E(k) = - (3/4).(1/2)^k + 2/(k(k+2))
E(k+2) - E(k) = - 3/(2^(k+2)) + 2/(k(k+2))
E(k+2) - E(k) = [2^(k+3)-3k(k+2)]/(k(k+2)*2^(k+2))

(k(k+2)*2^(k+2)) > 0
Etude du signe de 2^(k+3)-3k(k+2)
...
On devrait trouver 2^(k+3)-3k(k+2) > 0

--> E(k+2) - E(k) > 0

Et donc la suite E(n) avec n impair est croissante (mais tous ses termes sont < 0)

Donc la borne la plus négative de En est pour n = 1, soit E1 = 1/2 - 1 = -1/2
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La suite En est donc minorée par -1/2 et majorée par 3/4
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Sauf distraction ou erreur.  

n est dans N*, donc dans le cas de n pair, la plus petite valeur de n permise est 2.
  
Or on a montré que pour n pair, tous les termes de En sont > 0 et aussi que En est décroissante.
  
Donc tous les termes de En pour n pair sont majorés par E(2)

ok et comment etudie tu le signe de

Entre autre, on peut faire ainsi :

f(x) = 2^(x+3)-3x.(x+2) pour x >= 0

f '(x) = ln(2) * 2^(x+3) - 6x - 6

f''(x) = ln²(2) * 2^(x+3) - 6

f'''(x) = ln³(2) * 2^(x+3)

f'''(x) > 0 et donc f''(x) est croissante

f''(x) = 0 pour ln²(2) * 2^(x+3) = 6
2^(x+3) = 6/(ln²(2))
(x+3)ln(2) = ln(6/(ln²(2)))
x = -3 + ln(6/(ln²(2)))/ln(2) = 0,642495...

Et donc f''(x) < 0 pour x dans [0 ; 0,642495...[ et f''(x) > pour x dans ]0,642495... ; +oo[

f '(x) est décroissante sur [0 ; 0,642495...[ et croissante sur ]0,642495... ; +oo[

f'(x) est donc minimum pour x = 0,642495... et ce min est f'(0,642495...) = -1,19... < 0
lim(x-> +oo) f'(x) = +oo (l'exponentielle est prépondérante sur la puissance)

Il y a donc une et une seule valeur alpha de x pour laquelle f'(x) = 0 est alpha est > 0,642495..
On peut approcher avec la précision que l'on veut (pas la valeur exacte) la valeur de x pour laquelle f'(x) = 0 par approximations sucessives.

... On trouve f'(x) = 0 pour x = 1,3406...

Avec ce qui précède:
f '(x) < 0 pour x <  1,3406...
f '(x) > 0 pour x >  1,3406...

f(x) est donc minimum pour x = 1,3406 et ce min vaut f(1,3406...) = 6,8...

Donc f(x) > 0 pour x > 0

2^(x+3)-3x.(x+2) > 0 pour x > 0
Et comme k > 0 --> 2^(k+3)-3k.(k+2) > 0
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Sauf distraction.