Niveau école ingénieur

Calcul de dérivée par sa définition

Posté par
henrihilan 18-11-09 à 15:06

Bonjour à tous!

Voilà je suis bloqué pour résoudre cette équation:

pour tout x $\neq$ o f(x)= $\e^{frac{-1}{x^2}}$ ;
pour tout x=0 f(0)=0;

Mon problème est de dériver f(0).Je trouve donc avec la définition:

$\frac{e^{frac{-1}{0+h^2}-0}{h}$

Et là je pense à faire un petit changement de varibable: h= $\frac{1}{y}$

Ce qui nous donne:

$\lim_{y \to + \infty} \e^{frac{-y^2}*y$

Et là je ne trouve pas le trick shoot pour éradiquer la multiplication par y...

Merci d'avance

Posté par re : Calcul de dérivée par sa définition 18-11-09 à 15:15

Bonjour

Peux-tu écrire tes fonctions? Je ne crois pas que ton problème soit de dériver f(0)!

Posté par correction 18-11-09 à 15:41

Escusez moi, j'ai loosé le truc, mais j'ai jamais utilisé Latex j'éspère que vous me pardonnerez...

Bonbonh, je vais essayer d'écrire ca plus proprement:

pour tout $x\neq{0}$ $f(x)={e^{\frac{-1}{x^2}$
pour tout $x=0$ $f(x)=0$

Je doit donc donner la dérivée au point 0

J'ai donc pensé à utiliser la définitionde la dérivée comme le dit mon cours, ce qui me donne:

$\lim_{h \to + \infty} \frac {e^{\frac{-1}{(h+0)^2}}} {h}$

Et là j'ai pensé à faire un petit changement de variable:
$h=\frac{1}{y}$

Ce qui me donne:

$\lim_{h \to + \infty} \e^{y^2}\times{y}$

Et là je ne trouve pas le trick-shoot pour éradiquer la multiplication par y et se retrouver avec une limite bien sympathique...

Merci d'avance pour vos réponse.

...Ouf

Posté par re : Calcul de dérivée par sa définition 18-11-09 à 15:50

Okay, j'ai du mal m'éxprimer escuses moi.

Alors il s'agit d'une fonction qui réagis différament suivant le lieu du domaine de défintion (décomposé en 0 et en $R^{*}$
Et l'énoncé est de "dériver la fonction suivante". J'arrive donc à dériver selon les règles habituelle lorsque je suis différent de zéro, mais pas au lieu se situant entre 0 et $0+\epsilon$ .

Escuser pour la "grammaire mathématique"

Posté par re : Calcul de dérivée par sa définition 18-11-09 à 15:54

OK!

En effet, ton problème est bien de trouver $\lim_{h\to 0}e^{-1/h^2}/h$ . Si tu poses y=1/h, il faut regarder des deux côtés de 0 pour h, donc pour y tendant vers $+\infty$ ET pour y tendant vers $-\infty$ . Dans les deux cas c'est une indétermination que l'on enlève en utilsant "les croissances comparées" qui doivent figurer dans ton cours. Quand on a des puissances et des exponentielles c'est l'exponentielle qui l'emporte. Donc ici, la limite est 0 et f est dérivable en 0 avec f'(0)=0.

Posté par re : Calcul de dérivée par sa définition 18-11-09 à 17:50

D'accord, je pensais pas qu'on pouvais conclure avec une simple majoration.

Merci beaucoup!

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