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calcul de primitives

Posté par
timus 18-05-09 à 00:07

Bonsoir , je viens de m'entrainer à calculer quelques primitives et j'aimerais votre avis svp , donc calculer les primitives de :

1. x²*e^x
2. (2x+1)³
3.(4-x)
4. sin²x
5. e^(3x+3)
6. (10x²+12x+26)/(x³-8)

Voici mes réponses :

1.e^x (x²-2x+2)
2.(2x+3)^4 / 8
3. -2/3 * (4-x)^3/2
4. x/2 - sin(2x)/4
5.1/3 e^3x+3
6. Après décomposition on a 7/x-2 + 3x+4/x²+2x+4 , une primitive de la 1ère est 7 ln(x-2) mais pour la seconde j'ai pas réussi à la mettre sous la forme u'/u^n , est ce faisable ?

merci pour vos commentaires

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:22

Salut timus

Pour la 4$\fbox{1.} c'est bon

Pour la 4$\fbox{2.} c'est bon

Pour la 4$\fbox{3.} c'est bon

Pour la 4$\fbox{4.} c'est bon

Pour la 4$\fbox{5.} c'est bon

Pour la 4$\fbox{6.} Je ne suis pas d'accord je refais vite fais les calculs pour voir si je me suis pas trompé

Parcontre pour le \fr{3x+4}{x^2+2x+4} tu peux dire que c'est égale à 4$\fr{3x+3+1}{x^2+2x+4} soit 4$\fr{3}{2}\(\fr{x+1}{x^2+2x+4}\)+\fr{1}{(x+1)^2+2}

Et y a surement moyen de s'aider de la fonction arctangente..je vais regarder

Voilà Voilà

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:23

Oups je voulais écrire 4$\fr{3}{2}\(\fr{2x+2}{x^2+2x+4}\)+\fr{1}{(x+1)^2+2} pardon

Au fait, toujours pas trouvé l'intégrale que je t'avais proposé?

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 00:25

olive en fait la fonction rationnelle 6 je l'ai trouvé sur wikipédia et car je potassais  la décomposition ( ça aide pour intégrer ) , donc j'ai matté leur décomposition mais sans réussir à intégrer la fonction décomposée...

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:33

Bah en fait ,

4$\fr{1}{(x+1)^2+2}=\fr{1}{2}\times \fr{1}{\(\fr{x+1}{\sqrt{2}}\)^2+1

Avec ça tu y arrives ? Faut être à l'aise avec la fonction arctangente..

En tout cas une primitive de 4$\fr{1}{(x+1)^2+2} est 4$\fr{sqrt{2}\times arctan\(\fr{\sqrt{2}(x+1)}{2}\)}{2}

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 00:37

oui comme tu dis faut ^etre à l'aise , mais faut surtout etre à l'aise avec la transformation d'écriture et pour ça faut en faire bcp , t'as dû en faire bcp .
Pour ta fonction je vais y réfléchir mais en attendant je me concentre sur un peu de trigo , j'essaye de trouve une primitive de sin³(x) , alors j'ai tenté 2 approches qui ont échoué car ça ne simplifie rien :

1ere approche :

sin²x * sin x et là je tente une IPP avec u' = sin x , u = -cos x , v' = x/2 - 1/4(sin2x) et v = sin²x , ça complique même !

2eme approche :

(1 - cos²(x))sin x , transformation qui va aussi compliquer...

en as tu une 3eme par hasard ?

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:44

Bah les deux que tu proposes sont bonnes

L'intégration par parties vas te faire apparaître un cosinus et tout ce que tu auras à faire est d'utiliser la formule qui dit que une primitive de 3$u'u^n est 3$\fr{1}{n+1}\times u^{n+1}

Pour la deuxième que tu proposes, 3$(1-cos^2(x))sin(x)=sin(x)-cos^2(x)sin(x)

Tu connais une primitive du sinus et pour le deuxième terme tu utilises exactement ce que j'ai dis avant

Pour la 3^{eme} méthode mais qui est pas toujours avantagueuse car longue, c'est linéariser cette ecriture à l'aide des formules de Euler mais enfait ici ça ne marcherais pas du fait que c'est un sinus et que l'exposant est impair sinon dans les autres cas ça marche

Tu connais cette méthode ? Tu la vois en terminal normalement avec les nombres complexes

Pour ce qui est des exercices avec la fonction arctangente j'ai surement du en faire moins que toi ..
Je ne l'ai jamais étudié en classe..

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:45

(Tu remarques que ce que tu as proposé comme solution n'est surement pas aussi long que tu aurais pu le pensé non? )

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 00:46

j'en ai fait 0 donc si tu en as fait -1 exercice jte dis bravo , j'essaye de calculer mon sin³ je poste après .

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:47

Ah on ne voit pas la fonction arctangente en 4$DUT ??

Ok ça marche je serais la pour vérifier

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 00:48

disons que j'ai eu la flemme de faire les fonctions réciproques

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 00:51

Ah !

Bah en fait si tu auras envie de faire l'intégrale que je t'ai proposé il faut savoir que une primitive de 4$\fr{1}{x^2+1} est la fonction arctangente ..

La c'est faisable de trouver une primitive Il y à juste une petite astuce

Allez je te laisse trouver une primitive de 4$sin^3(x)

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 00:56

dis donc c'est bien long la primitive , j'en ai pour 10 lignes tu appelles cela court lol ?

regarde , je pars de ceci :

cos x sin² x + (x cos x)/2 + cos x sin(2x)/4 , je te passe toutes les lignes et j'arrive à ceci :

-cos x sin² x + 1/2 x cos x + 1/4 cos x sin(2x)

C'est pas difficile à faire à 1ere vue il me faut 2 IPP , mais c'est bigrement long

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 01:07

Euh 4$\Bigint_0^x \ sin(x)sin^2(x) \dx (Je décide de calculer la primitive de çaqui s'annule en 0)

Je fais une intégration par parties et je pose,

     4$u'(x)=sin(x) donc 4$u(x)=-cos(x) et 4$v(x)=sin^2(x) donc 4$v'(x)=2cos(x)sin(x)

Donc 4$\Bigint_0^x \ sin(x)sin^2(x) \dx=\[2cos(x)sin^2(x)\]_0^x+\Bigint_0^x -cos^2(x)\times (-sin(x)) \dx

Or 4$-cos^2(x)\times (-sin(x))=-u^'u^2

Avec 4$u=cos(x) donc une primitive est 4$\fr{-1}{3}cos^3(x)

D'où 4$\Bigint \ sin(x)sin^2(x) \dx=\[2cos(x)sin^2(x)\]_0^x+\[\fr{-1}{3}cos^3(x)\]_0^x=2cos(x)sin^2(x)-\fr{1}{3}cos^3(x)+\fr{1}{3}

D'où une primitive de 4$sin^3(x) est 4$2cos(x)sin^2(x)-\fr{1}{3}cos^3(x)

Pas trop trop long si ?

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 01:08

Oups le truc illisible c'est,

4$\Bigint \ sin(x)sin^2(x) \dx=\[2cos(x)sin^2(x)\]_0^x+\[\fr{-1}{3}cos^3(x)\]_0^x=2cos(x)sin^2(x)-\fr{1}{3}cos^3(x)+\fr{1}{3}

Sauf érreur bien sur

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 01:10

ah ben oui je suis parti dans un délire , ta méthode est très bien .

merci olive pour l'aide

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 01:11

Oh passage si tu as 2-3 primitives ou intégrales à propose ravec changement de variable et 1 ou 2 truc de récurrence sur les intégrales ( pas wallis je connais ) , je suis preneur , je les ferais demain en meme temps que ta 1ere que tu m'as proposé .

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 01:12

De rien

J'ai une mini intégrale si tu veux que je peux te proposer qui demande aussi une mini astuce:

4$\Bigint_0^x \fr{x}{x+1}

Si ça te tente (Là tu connais tout ce qu'il te faut pour y arriver ;) )

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 01:12

Le truc  illisible c'était :

(Là tu connais tout ce qu'il te faut pour y arriver )

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 01:16

Euh je ne sais pas vraiment comment faire une intégration avec changement de variable ..

La seul que je connaisse étant, Montrer que 4$\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ sin^n(x) \ dx=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ cos^n(x) \ dx

Mais comme tu dis que tu là connais alors voilà j'ai rien d'autre en stock :S

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 17:24

Olive excuse moi mais est ce que tu peux réécrire stp la calcul de la primitive de sin³x avec ma notation , celle ci :

u'v = uv - uv' , je n'arrive pas à les remettre en place avec ma notation ...
Je trouve pas comme toi moi , avec ma notation , je pose u' = sin(x) , u = cos(x) , v' = 2cos(x)sin(x) et v = sin²(x) , ce qui me fait :

sin²x * sin(x) =  -cos(x)sin²(x) + 2cos²(x)sin(x) .

Jusqu'ici es tu d'accord avec moi?

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 17:27

Salut

Déjà je ne suis pas d'accord puisque tu as 4$u^'=sin(x) \ \to \ u=\fbox{-cos(x)}

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 17:30

simple erreur de frappe car dans la suite j'ai mis -cos(x)...

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 17:34

Ah ok

Bah oui je suis d'accord avec toi jusque là:

4$\Bigint \ sin(x)\times sin^2(x) \ dx=-cos(x)sin^2(x)+2\Bigint \ cos^2(x)sin(x)

Tu bloques après ??

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 17:38

non attends je termine je crois

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 17:39

Ok Ok

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 17:41

ben moi je trouve pas comme toi , je pars de ceci :

-cos(x)sin²(x) + 2sin(x)cos²(x) , ensuite je suis là :

-cos(x)sin²(x) - 2-sin(x)cos²(x) , pour finir à cela :

-cos(x)sin²(x) - 2 * 1/3 cos³(x) .

Qu'en penses tu ?

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 17:45

J'en penses que c'est très bien

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 17:47

c'est le meme résultat que toi sous une autre forme en fait ?

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 17:53

Ben en fait je viens de remarquer que c'est moi qui a fais une faute..

J'ai inverser..au lieu de mettre un - dans les crochets j'ai mis un 2 et j'ai fais l'inverse dans l'intégrale.. je sais pas pourquoi il était tard désolé ^^

Tu peux même aller plus loin, 4$-cos(x)sin^2(x)-\fr{2}{3}cos^3(x)=cos^3(x)-cos(x)-\fr{2}{3}cos^3(x)=\fr{1}{3}cos^3(x)-cos(x)

Posté par
timusre : calcul de primitives 18-05-09 à 20:32

ya pas de mal , qui ne fait pas d'erreur . Merci pour ton aide en tt cas .

Posté par
olive_68re : calcul de primitives 18-05-09 à 20:34

Je t'en prie

Au fait tu as trouvé une primitive de 4$\fr{x}{x+1} ?

Ou tu veux peut-être la réponse?


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