Niveau Licence Maths 1e ann

calcul de somme

Posté par
maju2209 08-10-09 à 13:22

bonjour je dois calculer une somme dont je connais la réponse mais je n'arrive pas à parvenir à ce résultat

p(1-p)^k-1k (1/6)(5/6)^k-1 pour k=1 à l'infini

je sais que ça fait 6p/(1+5p)² mais je n'arrive pas à trouver ce résultat

est-ce que quelqu'un peut m'aider?

Posté par re : calcul de somme 08-10-09 à 14:28

$\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}\,p(1-p)^{k-1}\,k\,(\frac{1}{6})\,(\frac{5}{6})^{k-1}=p\times (\frac{1}{6}) \sum_{k=1}^{+\infty}\,\,k\,\,[(1-p)(\frac{5}{6})]^{k-1}$

Cette somme est donc de la forme :

$\displaystyle A\times \sum_{k=1}^{+\infty}\,k\,x^{k-1}$ avec $A=(\frac{p}{6})$ et $x=(\frac{5(1-p)}{6})$

Posons $\displaystyle L=\sum_{k=1}^{+\infty}\,k\,x^{k-1}\,=\,\lim_{N \to +\infty} f(x)$

Avec $f(x)=\sum_{k=1}^{N}\,k\,x^{k-1}$

Cherchons une primitive F(x) de f(x) :

$F(x)=\sum_{k=1}^{N}\,x^{k}=x\sum_{k=0}^{N-1}\,x^{k}=x\,\frac{x^N-1}{x-1}$

f est la dérivée de F ; donc, tu n'as plus qu'à calculer f comme dérivée de F, ensuite à chercher la limite de f quand N tend vers l'infini, et enfin calculer ton expression initiale !

Posté par re : calcul de somme 08-10-09 à 19:31

merci beaucoup

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