Bonjour,

Pour démarrer : Des propriétés du cube (géométrie dans l espace)

Dans le repère orthonormé (A ; AB ; AD ; AE), on a:

A(0 ; 0 ; 0)
B(1 ; 0 ; 0)
C(1 ; 1 ; 0)
D(0 ; 1 ; 0)
E(0 ; 0 ; 1)
F(1 ; 0 ; 1)
G(1 ; 1 ; 1)
H(0 ; 1 ; 1)

I(0 ; 1/2 ; 1)
J(1 ; 0 ; 1/2)
K(1 ; 1/2 ; 0)
L(0 ; 1 ; 1/2)

vect(IJ) = (1 ; -1/2 ; -1/2)
vect(LK) = (1 ; -1/2 ; -1/2)

vect(IJ) = vect(LK) -->
La quadrilatère IJKL a ses cotés opposés égaux et parallèles, c'est un parallélogramme.

Soit P le point milieu de IK, on a P(1/2 ; 1/2 ; 1/2), c'est le point de rencontre des diagonales du quadrilatère IJKL (puisque les diagonale d'un parallélogramme se coupent en elurs milieux).
Soit O le centre du cube, il est le point milieu de AG --> O((1/2 ; 1/2 ; 1/2)

P et O sont confondus --> IJKL est un parallèlogramme dont les diagonales se coupent en O, centre du cube
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IK = V(1² + 0² + 1²) = V2

JL = V(1² + 1²) = V2

IJKL est un parallèlogramme dont les diagonales ont même mesure --> c'est un rectangle.
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vect(IK) = (1 ; 0 ; -1)
vect(LJ) = (1 ; -1 ; 0)

vect(IK).vect(LJ) = 1 - 0 + 0 = 1

vect(IK).vect(LJ) = IK.LJ.cos(alpha) avec alpha l'angle entre les 2 diagonales de IJKL.

1 = V2*V2*cos(alpha)
cos(alpha) = 1/2
alpha = Pi/3
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Sauf distraction.  

Attention, les longueur ont été donnée dans le repère que j'ai choisi, soit repère orthonormé (A ; AB ; AD ; AE)

Si on veut la mesure dans l'unité de longueur dans laquelle est exprimé "a", il faut multiplier les longueurs que j'ai écrites par a.

Désolé pour l'orthographe.

Je vous remercie ! Depuis toute à l'heure j'esais de le faire sans succès hormis la 1ere question ^^. Merci encore . Justine