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Niveau Licence Maths 1e ann
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Carré d'une somme (pas (a+b)² ! )

Posté par
Dcamd
06-01-10 à 00:31

Bonsoir,

Je ne comprends pas bien comment on établit ceci :

q_n(x)=\frac{1}{n+1}e^{inx}(\sum_{k=0}^n e^{ikx})^2 = \frac{1}{n+1} \sum _{k,l=0}^n e^{i(n-k-l)x}

Ce n'est pas un produit de Cauchy ?

Merci d'avance

Dcamd

Posté par
Dcamd
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 00:41

En 0, c'est égal à n+1.

Il est écrit que c'est un polynôme trigonométrique de degré n. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Merci

Posté par
Dcamd
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 00:44

En fait c'est qn le polynôme trigo (Ok, sous forme de série trigo), mais je ne vois pas trop pour le degré.

Posté par
PIL
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 08:50

Salut,

Il me semble que le e^{inx} qui multiplie la somme au carré devrait être remplacé par e^{-inx}. D'accord ?

Posté par
Dcamd
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 10:06

Bonjour PIL !

Excusez mon erreur. En fait, c'est l'exponentielle à l'intérieure de la somme qui a -ikx en exposant.

Posté par
PIL
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 10:59

Mais alors :

2$\rm a^n(\sum_{k=0}^{n} a^{-k})^2 = a^n(\sum_{k=0}^{n} a^{-k})(\sum_{l=0}^{n} a^{-l}) = (\sum_{k=0}^{n} a^{n-k})(\sum_{l=0}^{n} a^{-l}) = ce que tu dois trouver !

Posté par
Dcamd
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 11:09

Merci PIL, mais on ne regroupe pas tout dans la même somme ?

Posté par
PIL
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 11:34

bien sûr, il reste à écrire

2$\rm ... = \sum_{k,l=0}^{n} a^{n-k-l}.

Posté par
Dcamd
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 12:17

On a le droit de faire ça ? (C'est la multiplication de deux sommes, donc je ne savais pas trop ...)

Posté par
PIL
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 13:01

Mais oui, tu connais ça :  (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn) = a1b1 + a1b2 + a1b3 + ... + aibj + ... + anbn,  autrement écrit :  1$\rm (\sum_{i} a_i)(\sum_{j} b_j) = \sum_{i,j} a_ib_j

Posté par
Dcamd
re : Carré d'une somme (pas (a+b)² ! ) 06-01-10 à 14:09

D'accord ... C'est plus clair. Merci Beaucoup PIL. J'étais certain d'avoir rencontré ce cas lors d'un TD d'informatique avec des exos un peu mathématiques et le chargé de TD nous avait dit que c'était faux. (Donc je pense que j'avais mal compris, parce qu'il est clair maintenant que c'est vrai !)

Merci



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