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Casse tête sur les produits scalaires

Posté par Flocon (invité) 17-03-05 à 14:50

Bonjour !

J'ai un devoir maison a faire sur les produits scalaires. C'est un problème et j'ai beau le tourner dans tout les sens, je ne m'en sort pas. Je remercie d'avance tous ceux qui pourront me donner des pistes.  

Voici l'énoncé :

  Deux hommes en jeep sont perdus au milieu du désert. Depuis plusieurs heures, ils remarquent à l'aide d'un système complexe, qu'à chaque instant la somme des carrés de leurs distances aux oasis de Sidi-Ben et de Ben-Sidi est égale au double du carré de leur distance à l'oasis Sidi-Sidi.
"Nous nous déplaçons, dit le conducteur, sur une perpendiculaire à la piste qui joint Sidi-Sidi au milieu de la piste qui joint Sidi-Ben à Ben-Sidi. "
Qu'en pensez vous ?


Voilà....
J'ai voulu faire un schéma mais je n'arrive pas à l'insérer.Je le met donc par écrit :
- On appel A l'oasis Sidi-Ben
- On appel B l'oasis Ben-Sidi
- On appel C l'oasis Sidi-Sidi
- On appel M la jeep
- I est le milieu de [AB]

Donc : MA²+MB² = MC²
Je sais qu'avec cela, il faut utiliser le théorème de la médiane et d'autres chose mais je ne sais pas comment.


Merci beaucoup de votre aide !

Posté par Flocon (invité)Oups 17-03-05 à 14:57

Excuser moi, j'ai fait une erreur, c'est :

           MA²+MB²=2MC²

Désolé !



Posté par Flocon (invité)Aidez-moi, svp. Problème sur produit scalaire ( et autre ) 18-03-05 à 18:10

Bonjour à tous !

Je ne recois aucune réponse pour mon DM de math et je ne trouve toujours pas de solutions !
Sinon, j'ai eu qq indications, je crois qu'il ne faut pas forcément utiliser le produit scalaire. Il faut partir du fait que les droites sont perpendiculaires et ensuite, démontrer que : MA²+MB²=2MC² ( l'énoncé du problème est dans le message suivant)

Voilà, j'épère sincerement que quelqu'un pourra m'aider. Merci


UP s'il vous plait. Merci

Posté par
ma_corre 19-03-05 à 11:48

Bonjour Flocon.
Je pense que c'est le produit scalaire qui va te donner une ébauche de solution.
En effet, trouver les points M du plan tels que \vec{AM}.\vec{AB}=k est une droite perpendiculaire à la droite (AB).
Ici tu as (voir fugure):
I milieu de [AB], J milieu de [IC].
Par le produit scalaire : \vec{MA}^2+\vec{MB}^2=2\vec{MI}^2+\frac{\vec{AB}^2}{2} (un des théorèmes de la médiane).
Avec l'énoncé, on a 2\vec{MC}^2=2\vec{MI}^2+\frac{\vec{AB}^2}{2}\frac{\vec{AB}^2}{2}=2(\vec{MC}^2-\vec{MI}^2)=2(\vec{MC}-\vec{MI})(\vec{MC}+\vec{MI})=2\vec{IC}.(2\vec{MJ})=4.\vec{IC}.\vec{MJ}\vec{MJ}.\vec{IC}=\frac{\vec{AB}^2}{8}.
Or, \vec{MJ}.\vec{IC}=\vec{CI}.\vec{JM}=\vec{CI}.(\vec{JC}+\vec{CM})=\vec{CI}.\vec{JC}+\vec{CI}.\vec{CM}=\frac{-\vec{CI}^2}{2}+\vec{CI}.\vec{CM}\vec{CI}.\vec{CM}=\frac{\vec{AB}^2}{8}+\frac{\vec{CI}^2}{2}.
Le deuxième membre est un réel et donc cette dernière égalité signifie que M est sur une droite perpendiculaire à CI.
Voilà.

re

Posté par Flocon (invité)Merci !!!!!! 19-03-05 à 16:52

Merci beaucoup Ma_cor !

J'ai tout compris maintenant mais je crois que je n'y aurai jamais pensé !
Merci encore !


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