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centre de l'homothétie...exercice...
Bonjour,
J'ai un exercice à réaliser et je suis drolement embêtée. Je fais des études par correspondance et je viens tout juste de commencer les homothéties. J'ai essayé contacter mon professeur mais je tombe toujours sur le répondeur, c'est pourquoi je fais appel à vous! J'espère grandement que vous pourrez m'aider.
Voici l'énoncé:
Montrer qu'une droite du plan contenant le centre d'une homothétie, est invariente par celle-ci.
Aide: vous définirez la droite par un couple de points (O,A). Vous montrerez que pour tout point M de cette droite, son image M' vérifie: vecteur OM'= k vecteur OA. (k 
)
Réciproquement, vous montrerez dans un deuxième temps que tout point de la droite est l'image d'un autre point de la même droite.
Voilà, donc si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa. Encore merci. Cordialement.
bonjour
tu prends un point M de la droite (O,A) et tu le transforme par l'homothétie de cente O et de rapport k... c'est bien cela ?
Bonsoir !
Euh au départ c'est la définition de l'homothétie :
donc on a bien (vecteur colinéaires donc point alignés).
Et une homothétie est une transformation donc une bijection...donc tout point de la droite a une unique image, et chaque image a un unique antécédent.
L'image est donc bien toute la droite.
merci beaucoup.
En revanche je n'arrive pas à démontrer qu'une droite du plan contenant le centre d'une homothétie est invariente ....
Ben c'est ce que j'ai fait :
Prenons un point du plan distinct de
.
Soit un point et son image M' par l'homothétie de centre
et de rapport
.
est bien une droite du plan contenant le centre d'une homothétie)
Par définition de l'homothétie, on a donc
et
sont colinéaire
et donc et
alignés or
donc
alignés.
Ainsi et
sont alignés (transitivité ?
) donc .
Et une homothétie est une transformation donc une bijection...donc tout point de la droite a une unique image, et chaque image a un unique antécédent. (ça sent le copier-coller 
)
A chaque point correspond un unique point
de la droite...et vu que la droite est infinie...c'est bien toute la même droite.
bonjour,
si je peux me permettre, juste une petite remarque concernant ton raisonnement Matovitch:
on peut très bien avoir une bijection f qui transforme tout point d'une droite D en un point de la droite D.... et qui pour autant ne transforme pas la droite D en la droite D.
dans ton raisonnement, tu ne montre pas que tout point de la droite D a un unique antécédent par h...sur la droite D.
Ton raisonnement commence bien... mais ensuite il faut utiliser une autre propriété des homthéties : une homothétie (de rapport différent de 1 bien sûr) transforme une droite en une droite... donc la droite D est transformée en une droite D', contenue dans la droite D (ça c'est la première partie de ton raisonnement) et donc D'=D... et donc tout point de la droite D est bien atteint par h
MM
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